О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/6

Шаблон:Отексте it:Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (Cremona)/6

Шаблон:§ Пусть $i$ — точка перегиба заданной кривой третьего порядка и $I$ — гармоническая полярная прямая для $i$ . Две касательные к кривой, точки касания которых лежат на одной прямой с точкой перегиба $i$ , пересекаются в точке $m$ прямой $I$ и образуют гармоническую систему с прямой $m i$ и самой $I$ (Introd. 139a), поэтому:

Шесть касательных, которые можно провести к кубики из точки гармонической поляры для точки перегиба соединены в инволюцию таким образом, что прямая (la corda di contatto), соединяющая точки касания двух сопряженных касательных, проходит через точку перегиба. ^[1] ^[2]

Поскольку все кубики, сизигические данной, имеют одни и те же гармонические поляры, верно след.:

Пусть задан пучок сизигических кубик. Если из точки гармонической поляры для точки перегиба провести пары касательных к кубикам таким образом, что прямая, соединяющая точки касания, проходила через названную точку перегиба, то эта бесконечная [система] пар касательных образует инволюцию, двойными лучами которой являются прямая, проходящая через точку перегиба, и гармоническая поляра. ^[3]

Пусть $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ — три точки, взятые произвольным образом соответствующие на трех гармонических полярах для трех точек перегиба $i_{1}, i_{2}, i_{3}$ , лежащих на одной прямой. Проведем через каждую из точек $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ по две касательные к кубике, точки касания с которой лежат на одной прямой с соответствующей точкой перегиба; поскольку три прямые, соединяющие эти точки касания, пересекают кривую еще в трех точка $i_{1}, i_{2}, i_{3}$ , лежащих на одной прямой, точки касания шести касательных лежат на некоторой конике (Introd. 39a).

Если $r$ — вершина трехсторонника $r r_{1} r_{2}$ , сизигического заданной кубике, через $r$ проходят гармонические поляры для трех точек перегиба, лежащих на противоположной стороне (Introd. 142). Поэтому шесть касательных, которые можно провести через точку $r$ к кубике, соединены в инволюцию тремя различными способами: в каждом из этих способов в качестве двойных лучей выступают прямая, соединяющая точку $r$ с одним из трех точек перегиба, и соответствующая гармоническая поляра.

Проведем через точку перегиба $i$ , лежащую на прямой $r_{1} r_{2}$ , произвольную секущую; ее точка, гармонически сопряженная к $i$ относительно пересечений секущей со сторонами $r r_{1}, r r_{2}$ , лежит на гармонической поляре для $i$ (Introd. 139). Отсюда следует, что прямые $r r_{1}, r r_{2}$ гармонически сопряжены относительно прямой $r i$ и гармонической поляры для $i$ . Поэтому двойные лучи трех инволюций образованы касательными, которые можно провести через $r$ к заданной кубике (и ко всем другим сизигическим кубикам), соединяются в новую инволюцию, двойными элементами которой являются стороны $r r_{1}, r r_{2}$ сизигического треугольника. Итого:

Три точки перегиба, лежащие на одной прямой, и пересечения этой прямой с гармоническими полярами для этих точек перегиба образуют три пары точек в инволюции.^[4]

Заметим, что, в силу Introd. 132c, если две касательные к заданной кубике пересекаются в точке этой же кривой, то каждая из этих касательных является полярной прямой для точки касания другой относительно некоторой кубики, для которой заданная кривая является гессианой. В силу Introd. 148, если прямая касается кубики в одной точке и пересекает ее в другой, то все полярные прямые для первой точки относительно кубик, сизигических данной, проходят через вторую точку. Отсюда имеем след.:

Четыре касательные, которые можно провести к кубике из лежащей на ней точки, являются полярными прямыми для любой из точек касания относительно самой кубики и трех других кубик, для которых заданная является гессианой.^[5]

Наконец, ангармоническое отношение полярных прямых для одной точки относительно четырех заданных кривых пучка остается постоянным, какова бы ни была эта точка; отсюда получается новое доказательство теоремы Шаблон:Персона (Introd. 131) о постоянстве ангармонического отношения четырех касательных, которые можно провести к кубике из произвольной ее точки.

Шаблон:§ Проведем в плоскости заданной кривой третьего порядка $n + 1$ секущих, пересекающих кривую в $n + 1$ тройках точек

(v_{1}, v_{2}, a_{1}), (v_{3}, v_{4}, a_{3}), (v_{5}, v_{6}, a_{5}), \dots (v_{2 n + 1}, v_{2 n + 2}, a_{2 n + 1})

.

Соединим точку $v_{2 n + 2}$ с точкой $a_{1}$ прямой, пересекающей кривую снова в точке $v_{2 n + 3}$ . Проведем прямую $v_{2} v_{3}$ , пересекающую опять кривую еще в одной новой точке $a_{2}$ ; и пусть $v_{2 n + 4}$ — третье пересечение в кривой прямой $v_{2 n + 3} a_{2}$ . Продолжая дальше тем же путем, получим новые $3 n$ секущих, содержащих тройки точек

(v_{2 n + 2}, a_{1}, v_{2 n + 3}), (v_{2}, v_{3}, a_{2}), (v_{2 n + 3}, a_{2}, v_{2 n + 4}), (v_{2 n + 4}, a_{3}, v_{2 n + 5}), (v_{4}, v_{5}, a_{4})

,

(v_{2 n + 5}, a_{4}, v_{2 n + 6}), \dots (v_{4 n + 1}, a_{2 n}, v_{4 n + 2})

.

Тогда $3 (2 n + 1)$ точек

v_{1} v_{2} \dots v_{4 n + 2}

,

a_{1} a_{2} \dots a_{2 n + 1}

оказываются точками пересечения кубики с $2 n + 1$ прямыми

(v_{1} v_{2} a_{1}), (v_{3} v_{4} a_{3}), (v_{5} v_{6} a_{5}), \dots (v_{2 n + 1} v_{2 n + 2} a_{2 n + 1})

,

$(v_{2 n + 3} v_{2 n + 4} a_{2}), (v_{2 n + 5} v_{2 n + 6} a_{4}), \dots (v_{4 n + 1} v_{4 n + 2} a_{2 n})$ , причем $6 n$ точек распределены по $2 n$ прямым

(v_{2 n + 2} v_{2 n + 3} a_{1}), (v_{2 n + 4} v_{2 n + 5} a_{3}), \dots (v_{4 n} v_{4 n + 1} a_{2 n - 1})

,

(v_{2} v_{3} a_{2}), (v_{4} v_{5} a_{4}), \dots (v_{2 n} v_{2 n + 1} a + 2 n)

;

значит, в силу Introd. 44, и другие три точки $v_{1} v_{4 n + 2} a_{2 n + 1}$ должны лежать на одной прямой . Итого:

Если $3 (2 n + 1)$ точек, являющихся вершинами и точками пересечения пар противоположных сторон полигона из $4 n + 2$ сторон, и $6 n + 2$ из них лежат на некоторой кривой третьего порядка, то и оставшаяся точка принадлежит этой кривой .^[6]

Шаблон:§ Проведем в плоскости кривой третьего порядка две секущие, которые пересекают кривую в тройках точек $(v_{1} v_{2} a_{1})$ и $(w_{2} w_{3} a_{2})$ . Две прямые $w_{2} a_{1}, v_{2} a_{2}$ пересекают кривую снова в точках $w_{1}, v_{3}$ . Проведем через $v_{3}$ произвольным образом секущую, пересекающую кривую в тройке $(v_{3} v_{4} a_{3})$ ; тогда, соединив $w_{3}$ с $a_{3}$ , получим тройку $(w_{3} w_{4} a_{3})$ . Проведем через точку $w_{4}$ произвольным образом секущую, пересекающую кривую снова в точках $w_{5}, a_{4}$ ; соединив точку $v_{4}$ с $a_{4}$ , получим третье пересечение $v_{5}$ . Продолжая двигаться тем же путем, получим тройки $(v_{2 n - 1} v_{2 n} a_{2 n - 1})$ и $(w_{2 n - 1} w_{2 n} a_{2 n - 1})$ . Соединим теперь $v_{2 n}$ с $v_{1}$ и пусть так проведенная прямая пересекает кривую снова в точке $a_{2 n}$ .

Таким образом, мы имеем $6 n$ точек $v_{1} v_{2} \dots v_{2 n}$ , $w_{1} w_{2} \dots w_{2 n}$ , $a_{1} a_{2} \dots a_{2 n}$ , которые получены путем пересечения кубики с системой $2 n$ прямых

(w_{1} w_{2} a_{1}), (w_{3} w_{4} a_{3}), \dots (w_{2 n - 1} w_{2 n} a_{2 n - 1})

и

(v_{2} v_{3} a_{2}), (v_{4} v_{5} a_{4}), \dots (v_{2 n} v_{1} a_{2 n})

,

причем $6 n - 3$ из них распределены по $2 n - 1$ прямым

(v_{1} v_{2} a_{1}), (v_{3} v_{4} a_{3}), \dots (v_{2 n - 1} v_{2 n} a_{2 n - 1})

и

(w_{2} w_{3} a_{2}), (w_{4} w_{5} a_{4}), \dots (w_{2 n - 2} w_{2 n - 1} a_{2 n - 2})

;

поэтому оставшиеся три точки $w_{1} w_{2 n} a_{2 n}$ должны тоже лежать на одной прямой. Итого:

Если среди $6 n$ точек, являющихся вершинами и пересечениями пар соответствующих сторон названных многоугольников, по $2 n$ сторон в каждом, $6 n - 1$ точек лежат на кривой третьего порядка, то также и оставшаяся точка лежит на этой кривой.^[7]

Примечания

Шаблон:Примечания

↑ Giornale di matematiche, t. 2, pag. 84 (Napoli, 1864).
↑ Пучок кубик, сизигических данной, порождает бесконечный ряд пар прямых, пересекающихся в точке $m$ и касающихся какой-либо кубики пучка в двух точках, лежащих на одной прямой с точкой $i$ . Хотя этот ряд не является проективным этому пучку, он оказывается квадратичной инволюцией. В самом деле, пусть задана произвольная прямая $P$ , тогда в пучке имеется четыре кубики, касающиеся этой прямой. Выберем одну из них и проведем из точки $m$ касательную $Q$ , точка касания которой лежит на одной прямой с точкой касания $P$ и точкой $i$ . Положение этой прямой не зависит от выбора одной из четырех кубик и однозначно определяется по $P$ : эта прямая должна быть гармонически сопряженной к $P$ относительно пары $I, m i$ . При этом заданная кубика задает три элемента инволюции, то есть всю инволюцию. Поэтому про эти шесть прямых можно говорить как о всей инволюции, следуя старой традиции, ср. шесть точек в инволюции у Шаля. — Перев.
↑ Если одна из прямых, составляющих пару, совпадет с гармонической полярой, то в силу Introd. 143 эта пара касается сизигического трехсторонника, а значит второй элемент пары совпадает с первым. Если одна из прямых, составляющих пару, совпадает с $m i$ , то эта прямая является стационарной касательной к некоторой кубике пучка, которая считается за две при подсчете касательных, проходящих через точку $m$ . — Перев.
↑ Это свойство также становится очевидным, если заметить, что точка, в которой гармоническая поляра для $i$ пересекает $r_{1} r_{2}$ , является гармонически сопряженной к $i$ относительно двух других точек перегиба, лежащих на прямой $r_{1} r_{2}$ . Отсюда следует также в силу Introd. 27), что каждая из двух точек $r_{1}, r_{2}$ вмести с тремя точками перегиба, лежащими на прямой $r_{1} r_{2}$ , составляют эквиангармоническую систему.
↑ Educational Times, december 1864, p. 214 (London).
↑ Эта теорема, обобщающая известное утверждение, принадлежащие Шаблон:Персона (Introd. 45c), сообщил мне проф. Шаблон:Персона.
↑ Эта и предыдущая теоремы были изложены Шаблон:Персона в случае, когда кубика составлена из коники и прямой (Verallgemeinerung des Pascalschen Theorems, Журнал Шаблон:Персона, Bd. 36, Berlin, 1848, p. 219).

[1] Giornale di matematiche, t. 2, pag. 84 (Napoli, 1864).

[2] Пучок кубик, сизигических данной, порождает бесконечный ряд пар прямых, пересекающихся в точке $m$ и касающихся какой-либо кубики пучка в двух точках, лежащих на одной прямой с точкой $i$ . Хотя этот ряд не является проективным этому пучку, он оказывается квадратичной инволюцией. В самом деле, пусть задана произвольная прямая $P$ , тогда в пучке имеется четыре кубики, касающиеся этой прямой. Выберем одну из них и проведем из точки $m$ касательную $Q$ , точка касания которой лежит на одной прямой с точкой касания $P$ и точкой $i$ . Положение этой прямой не зависит от выбора одной из четырех кубик и однозначно определяется по $P$ : эта прямая должна быть гармонически сопряженной к $P$ относительно пары $I, m i$ . При этом заданная кубика задает три элемента инволюции, то есть всю инволюцию. Поэтому про эти шесть прямых можно говорить как о всей инволюции, следуя старой традиции, ср. шесть точек в инволюции у Шаля. — Перев.

[3] Если одна из прямых, составляющих пару, совпадет с гармонической полярой, то в силу Introd. 143 эта пара касается сизигического трехсторонника, а значит второй элемент пары совпадает с первым. Если одна из прямых, составляющих пару, совпадает с $m i$ , то эта прямая является стационарной касательной к некоторой кубике пучка, которая считается за две при подсчете касательных, проходящих через точку $m$ . — Перев.

[4] Это свойство также становится очевидным, если заметить, что точка, в которой гармоническая поляра для $i$ пересекает $r_{1} r_{2}$ , является гармонически сопряженной к $i$ относительно двух других точек перегиба, лежащих на прямой $r_{1} r_{2}$ . Отсюда следует также в силу Introd. 27), что каждая из двух точек $r_{1}, r_{2}$ вмести с тремя точками перегиба, лежащими на прямой $r_{1} r_{2}$ , составляют эквиангармоническую систему.

[5] Educational Times, december 1864, p. 214 (London).

[6] Эта теорема, обобщающая известное утверждение, принадлежащие Шаблон:Персона (Introd. 45c), сообщил мне проф. Шаблон:Персона.

[7] Эта и предыдущая теоремы были изложены Шаблон:Персона в случае, когда кубика составлена из коники и прямой (Verallgemeinerung des Pascalschen Theorems, Журнал Шаблон:Персона, Bd. 36, Berlin, 1848, p. 219).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/6

Примечания

Навигация

Поиск