Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/22

Ангармоническое отношение кубики

Шаблон:§ Применим развитую выше общую теорию в случае, когда фундаментальная кривая имеет порядок три, то есть является так называемой кубикой $C_3$. При этом будем предполагать, что она лишена кратных точек, и поэтому ее класс равен шести ([[../13#70|70]]) и на ней имеется девять точек перегиба (§ [[../16#100|100]]).

Шаблон:§ Произвольная точка является полюсом полярной коники и полярной прямой (§ [[../13#68|68]]). Через две точки, взятые произвольным образом, проходит одна единственная полярная коника (§ [[../13#77a|77a]]). Все полярные коники, проходящие через точку $o$, [составляют пучок и поэтому] имеют общими также и три остальные точки $o_1,o_2,o_3$, их полюса лежат на прямой, полярной для четырех точек $o,o_1,o_2,o_3$.

Отсюда следует, что прямая имеет четыре полюса, являющиеся вершинами четырехугольника, вписанного в полярные коники для точек этой прямой.

Все прямые, проходящие через одну и ту же точку $o$, имеют своими полюсами точки коники $o{C}_3$ (§ [[../13#69a|69, a]]).

Шаблон:§ Полярные прямые $o^{\prime }o{C}_3$ и $o{o}^{\prime }{C}_3$ совпадают (§ [[../13#69c|69c]]). Если через точку $o$ провести касательные к конике $o^{\prime }{C}_3$, а через точку $o^{\prime }$ — касательные к конике $o{C}_3$, то четыре точки касания лежат на одной прямой — второй смешанной поляре $o{o}^{\prime }{C}_3$ (§ [[../21#123|123]]).

Шаблон:§ Через произвольную точку $o$ плоскости можно, в общем случае, провести шесть касательных к заданной кубике, поскольку эта кривая — шестого класса. Все шесть точек касания лежат на полярной конике $o{C}_3$.

Шаблон:§ Но если $o$ — точка кубики, то последняя касается здесь как полярной прямой $o^2{C}_3$, так и полярной коники $o{C}_3$, и через эту точку проходят только четыре прямые, касающиеся кубики в других точках. Их точки касания являются четырьмя пересечениями кубики с полярной коникой $o{C}_3$ (§ [[../13#71|71]]).

Шаблон:§ Пусть $o$ — точка кубики и пусть полярная коника $o{C}_3$, касающаяся кубики в точке $o$, пересекает кубику еще в точках $a,b,c,d$, тогда прямые $o(a,b,c,d)$ касаются кубики в точках $a,b,c,d$ соответственно (§ 130, d).

Касательная пересекает бесконечно близкую касательную в своей точке касания (§ [[../5#30|30]]); следовательно, если $o^{\prime }$ точка кубики, следующая за точкой $o$, то четыре прямые $o^{\prime }(a,b,c,d)$ — это те самые четыре касательные, которые можно провести через точку $o^{\prime }$. Далее, поскольку полярная коника $o{C}_3$ касается кубики в точке $o$ и пересекает ее еще в точках $a,b,c,d$, то все шесть точек $o,o^{\prime },a,b,c,d$ лежат на этой конике, и поэтому два пучка $o(a,b,c,d)$ и $o^{\prime }(a,b,c,d)$ имеют одно и то же ангармоническое отношение (§ [[../11#62|62]]). Это означает, что ангармоническое отношение четырех касательных к конике, проведенных через одну ее точку $o$, не меняется при замене этой точки следующей за ней:

Ангармоническое отношение пучка четырех касательных к кубике, которые можно провести через произвольную ее точку, постоянно.

Шаблон:§ Отсюда следует, что если $o(a,b,c,d)$ и $o^{\prime }(a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime })$ — два пучка касательных относительно двух произвольных точек $o$ и $o^{\prime }$ кубики, то четыре точки, в которых касательные первого пучка пересекают соответствующие им касательные второго пучка, лежат на некоторой конике, проходящей через точки $o,o^{\prime }$ (§ [[../11#62|62]]). Соответствие между касательными двух пучков может быть зафиксирована четырьмя различными способами, поскольку ангармоническое отношение пучка $o(a,b,c,d)$ совпадает с отношением для трех пучков $o(b,a,d,c)$, $o(c,d,a,b)$, $o(d,c,b,a)$ (§ [[../1#1|1]]); поэтому 16 точек, в которых четыре касательные, проведенные через точку $o$, пересекают четыре касательные, проведенные через точку $o^{\prime }$, лежат на четырех кониках, проходящих через точки $o,o^{\prime }$.

Шаблон:§ Постоянное ангармоническое отношение четырех касательных, проведенных к кубике через произвольную ее точку, может быть названо ангармоническим отношением кубики.

Кубика называется гармонической, когда ее ангармоническое отношение равно $-1$, то есть когда четыре касательные, проведенные через произвольную точку кубики, образуют гармонический пучок.

Кубика называется эквиангармонической, когда ее ангармоническое отношение равно $\sqrt[3]{-1}$, то есть когда для четырех касательных, проведенных через произвольную точку кубики, совпадают между собой три главных ангармонические отношения (§ [[../4#27|27]]).

Гессиана и штейнериана

Шаблон:§ Если полярная коника $o{C}_3$ является парой прямых, пресекающихся в точке $o^{\prime }$, то и наоборот полярная коника $o^{\prime }{C}_3$ является парой прямых, пересекающихся в $o$ (§ [[../13#78|78]]). Следовательно, место двойных точек полярных коник, выродившихся в пару прямых, является также и местом их полюсов, то есть гессиана и штейнериана являются одной и той же кривой третьего порядка (§ [[../14#88d|88d]], [[../14#90|90]]).

Шаблон:§ Поскольку прямая $o{o}^{\prime }$ является местом двух прямых, соединяющих две точки $o,o^{\prime }$ гессианы с двумя точками $o^{\prime },o$ штейнерианы, оболочка прямых $o{o}^{\prime }$, которая в силу общей теоремы § [[../15#98b|98b]] должна быть кривой шестого класса, вырождается в кривую третьего класса .

Шаблон:§ Точки $o,o^{\prime }$ являются сопряженными полюсами относительно любой полярной коники, принадлежащей геометрической сети второго порядка (§ [[../15#98b|98b]]). Отсюда:

Место пар сопряженных полюсов относительно сети коник является кривой третьего порядка (именно, гессианой сети).

Шаблон:§ В общей теории было доказано, что штейнериана в своей произвольной точке касается полярной прямой для соответствующей точки гессианы (§ [[../20#118a|118a]]), и что гесииана касается в своей произвольной точке второй поляры для соответствующей точки штейнерианы (§ [[../21#127a|127a]]). Применительно к случаю кривой третьего порядка, эти два свойства дают одно и то же: касательные к гессиане в точке $o$ являются полярными прямыми для точки $o^{\prime }$; то есть:

Гессиана является оболочкой прямых, полярных для своих точек.

Из этой теоремы следует, что через произвольную точку $i$ можно провести ровно шесть касательных к гессиане. В самом деле, полярные прямые, проходящие через точку $i$, имеют своими полюсами точки полярной коники $i{C}_3$, которая пересекает гессиану в шести точках; каждая из этих точек является полюсом полярной прямой, касающейся гессианы и пересекающейся с другими в точке $i$. Само собой разумеется, что точки касания этих шести касательных лежат на полярной коники для $i$ относительно гессианы.

Гессиана и кейлиана

Рис. к § 133. См. описание рисунка.

Шаблон:§ Пусть $o$ и $o^{\prime }$ два сопряженных полюса относительно полярных коник (см. рис.); полярная коника $o{C}_3$ составлена из двух прямых $ab$ и $cd$, пересекающихся в точке $o^{\prime }$, а полярная коника $o^{\prime }{C}_3$ составлена их двух других прямых $ad$ и $bc$, пересекающихся в точке $o$. Если две полярные коники пересекаются в точках $a,b,c,d$, то эти точки являются полюсами прямой $o{o}^{\prime }$, а прямые $ac$ и $bd$, пересекающиеся в точке $u$, составляют полярную конику для точки $u^{\prime }$, лежащей на прямой $o{o}^{\prime }$ (§ 130, a). Поэтому $u,u^{\prime }$ — новая пара сопряженных полюсов, а $u^{\prime }$ — третья точка пересечения гессианы с прямой $o{o}^{\prime }$.

Согласно § 132c, касательная к гессиане, проведенная в точке $o$, — это полярная прямая ${o^{\prime }}^2{C}_3$. Но эта прямая является полярой для точки $o^{\prime }$ относительно коники $o^{\prime }{C}_3$, образованной прямыми $ad$ и $bc$, и поэтому она совпадает с прямой $ou$, гармонически сопряженной к $o{o}^{\prime }$ относительно $ad,bc$. Впрочем это свойство [касательной гессианы] можно было бы вывести из теоремы § [[../21#127b|127b]]). Аналогично, касательная к гессиане в точке $o^{\prime }$ — это прямая $o^{\prime }u$. Итого:

Касательные к гессиане в двух сопряженных полюсах $o,o^{\prime }$ пересекаются в точке, принадлежащей этой же кривой, и при этом сопряженный ей полюс — это третье пересечение гессианы с прямой $o{o}^{\prime }$.

Шаблон:§ Две точки кубики называются соответствующими, когда они имеют одну и ту же касательную точку (§ [[../8#39b|39b]]), то есть когда проведенные в этих точках касательные к кубике пересекают кривую в одной и той же точке.

Используя это определение, можно сказать, что два сопряженных полюса относительно сети коник являются соответствующими точками гессианы этой сети.

Шаблон:§ Поскольку полярные прямые $o^2{C}_3=o^{\prime }u$ и ${o^{\prime }}^2{C}_3=ou$ пересекаются в точке $u$, полярная коника $u{C}_3$ проходит через точки $o$ и $o^{\prime }$. Но $u$ — тоже является точкой гессианы; поэтому полярная коника $u{C}_3$ состоит из двух прямых: $o{o}^{\prime }$ и еще одной прямой, проходящей через точку $u^{\prime }$. Итого:

Прямая, соединяющая два сопряженные полюса $o,o^{\prime }$, пересекает гессиану в точке $u^{\prime }$, сопряженной полюсу $u$ той полярной коники, составной частью которой является прямая $o{o}^{\prime }$.

Прямые, составляющие полярные коники для точек гессианы, огибают некоторую кривую третьего класса (§ [[../21#128|128]]). Эта кривая, следовательно, совпадает с оболочкой прямых, соединяющей две соответствующие точки гессианы (§ 132a).

Будем называть эту кривую кейлианой (Cayleyana) заданной кубики, в честь знаменитого Шаблон:Персона, нашедшего и доказавшего ее наиболее интересные свойства в своем элегантном аналитическом мемуаре о кривых третьего порядка.

Шаблон:§ Касательные, которые можно провести через произвольную точку $o$ гессианы к кейлиане, — это прямая, соединяющая $o$ с ее сопряженным полюсом $o^{\prime }$, и две прямые, составляющие полярную конику $o^{\prime }{C}_3$.

Шаблон:§ Если $a,b,c,d$ — четыре полюса прямой $R$, то три пары прямых $(bc,ad)$, $(ca,bd)$ и $(ab,cd)$ составляют три полярные коники, полюса которых лежат на $R$; поэтому точки пересечения этих четырех пар прямых принадлежат гессиане. Итого:

Гессиана является местом диагональных точек, а кейлиана — оболочкой сторон полного четырехугольника, вершины которого являются полюсами произвольной прямой.

Шаблон:§ Пусть $a,a^{\prime }$ и $b,b^{\prime }$ — две пары сопряженных полюсов, $c$ — точка пересечения прямых $ab$ и $a^{\prime }{b}^{\prime }$, а $c^{\prime }$ — точка пересечения прямых $a{b}^{\prime }$ и $a^{\prime }b$. Тогда $a{a}^{\prime }b{b}^{\prime }c{c}^{\prime }$ — шесть вершин полного четырехсторонника и поскольку концы двух его диагоналей $a{a}^{\prime }$ и $b{b}^{\prime }$ являются, по предположению, сопряженными полюсами относительно любой их полярных коник, то также и точки $c,c^{\prime }$ являются сопряженными полюсами относительно той же сети коник (§ [[../18#109|109]]). Отсюда:

Если $a,b,c$ — три точки гессианы, лежащие на одной прямой, то три сопряженные им полюса $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ образуют треугольник, стороны которого $b^{\prime }{c}^{\prime },c^{\prime }{a}^{\prime },a^{\prime }{b}^{\prime }$ проходят через $a,b,c$.

Отсюда получается, что, если заданы два сопряженных полюса $a,a^{\prime }$ и еще одна точка $b$ гессианы, то для нахождения сопряженного к ней полюса $b^{\prime }$ достаточно провести прямые $ba,b{a}^{\prime }$, которые пересекут гессиану в точка $c,c^{\prime }$; точка пересечения прямых $c{a}^{\prime },c^{\prime }a$ и будет искомой.

Шаблон:§ Прямые, проведенные из произвольной точки $o$ гессианы через пары сопряженных полюсов, образуют инволюцию второй степени. В самом деле, если одна прямая, проведенная произвольным образом через точку $o$ пересекает гессиану в точках $a$ и $b$, то полюса $a^{\prime },b^{\prime }$, сопряженные к этим точкам, лежат на одной прямой с точкой $o$; поэтому прямые $oab,o{a}^{\prime }{b}^{\prime }$ связаны друг с другом таким образом, что одна однозначно определяет другую, что и тр. д.

Шаблон:§ Наоборот, пусть задано шесть точек $a{a}^{\prime },b{b}^{\prime },c{c}^{\prime }$, тогда место точки $o$, такой, что пары прямых $o(a,a^{\prime })$, $o(b,b^{\prime })$, $o(c,c^{\prime })$ состоят в инволюции, является кривой третьего порядка, для которой $a{a}^{\prime },b{b}^{\prime },c{c}^{\prime }$ — три пары соответствующих точек.

Шаблон:§ Когда два из четырех полюсов (сопряженных полюсов) для некоторой прямой сливаются в одну единственную точку $o$, эта последняя принадлежит гессиане (§ [[../14#90b|90b]]) и все проходящие через нее полярные коники имеют здесь общую касательную $o{o}^{\prime }$ (§ [[../19#112a|112a]]). [Возвращаясь к конструкции, изображенной на рис. к § 133], обозначим как $o_1,o_2$ два оставшиеся полюса прямой $(o^{\prime }u)=o^2{C}_3$, [через эти точки должны проходить полярные коники для всех точек прямой $o^{\prime }u$, поэтому] в этих точках прямые $ad,bc$, составляющие полярную конику $o^{\prime }{C}_3$, пересекают прямую, проходящую через точку $u^{\prime }$ и образующую вмести с прямой $o{o}^{\prime }$ полярную конику $u{C}_3$.

Две касательные, которые можно провести через точку $o_1$ к кейлиане (§ 133d), совпадают с $o_{1}o$, а третья — это прямая $o_1{o}_2$; аналогично, две касательные, которые можно провести через точку $o_2$ к кейлиане, сливаются с прямой $o_{2}o$, а третья — это $o_2{o}_1$. Поэтому (§ [[../5#30|30]]) прямые $o{o}_1,o{o}_2$ касаются кейлианы в точках $o_1,o_2$.

Отсюда следует, что кейлиана является местом полюсов, сопряженных к точкам гессианы (§ [[../17#105|105]]), то есть если полярная прямая движется, огибая гесссиану, два совпадающих полюса описывают саму гессиану, а два оставшихся различных полюса — кейлиану.

Шаблон:§ Вспомним теперь, что [в силу § 133c] через произвольную точку $o$ гессианы проходят три касательные $o(o_1,o_2,o^{\prime })$ к кейлиане; две из них $o{o}_1$ и $o{o}_2$ связаны между собой таким образом, что прямая, проведенная через их точки касания $o_1,o_2$, является опять касательной к кейлиане.

Шаблон:§ Эта прямая, проходящая через точку $u^{\prime }$ и образующая вмести с $o{o}^{\prime }$ конику $u{C}_3$, пересекает кейлиану не только в точках $o_1,o_2$, то есть в сопряженных полюсах для $o$, но и в точках ${o_1}^{\prime },{o_2}^{\prime }$, то есть в сопряженных полюсах для $o^{\prime }$. Поскольку эта прямая является касательной к кейлиане, получается, что эта кривая имеет шестой порядок.

Сказанное можно доказать также следующим способом. Через [произвольную] точку $i$ проходит шесть касательных к гессиане (§ 132c); каждая из этих прямых имеет по два полюса, совпадающих с точкой гессианы, поэтому оставшиеся двенадцать полюсов лежат на кейлиане. Но полюса прямых, проходящих через точку $i$, лежат на конике $i{C}_3$, и значит, эта коника пересекает кейлиану в 12 точках, то есть кейлиана является кривой шестого порядка.

Шаблон:§ Из всего предыдущего получается, что, если прямая $o{o}_1$ касается кейлианы, то точка касания $o_1$ является полюсом, сопряженным к той точке $o$ гессианы, которая сама лежит на этой прямой, а соответствующая ей точка $o^{\prime }$ не лежит. Следовательно, если мы обозначим как $w$ точку касания прямой прямой $o{o}^{\prime }$ с кейлианой, то $w$ — полюс, сопряженный к $u^{\prime }$.

Пусть $v^{\prime }$ — третья точка, в которой гессиана пересекает прямую $u{u}^{\prime }$, а $v$ — полюс, сопряженный к $v^{\prime }$. Та прямая, которая проходит через точку $v^{\prime }$ и образует вмести с прямой $u{u}^{\prime }$ полярную конику $v{C}_3$, пересекает прямую $o{o}^{\prime }$ в точке $w$.

Полярная прямая $ov{C}_3=vo{C}_3$ проходит через точку $o^{\prime }$, поскольку коника $o{C}_3$ является парой прямых, пересекающихся в точке $o^{\prime }$. Эта прямая является первой полярой коники $v{C}_3$, то есть пары прямых $(u{u}^{\prime },v^{\prime }w)$, поэтому полюс $o$ и точки $u^{\prime },w,o^{\prime }$, в которых прямая $o{o}^{\prime }$ пересекает конику $v{C}_3$ и прямую $v(o{C}_3)$, составляют гармоническую систему (§ [[../18#110a|110, a]]); отсюда:

Прямая, соединяющая две соответствующие гессианы, делится гармонически третьей точкой гессианы, лежащей на этой прямой, и точкой касания этой прямой и кейлинаны.

Полоконики

Шаблон:§ Полярные прямые для точек прямой $R$ огибают конику, являющуюся также местом полюсов полярных коник, касающихся $R$ (§ [[../17#103|103]], 103a) и место полюсов прямой $R$ относительно полярных коник для точек самой прямой $R$ (§ [[../21#125|125]]). Эта коника, в общей теории (§ [[../17#104|104]]) была названа (чистой) второй полярой для $R$ [и обозначена как $R^2{C}_3$], в рассматриваемом же случае для краткости называется (чистой) полоконикой (poloconica) для прямой $R$.

Шаблон:§ Конику $i{C}_3$ можно определить не только как место точек, полярные прямые для которых пересекаются в точке $i$, он и как оболочку прямых, полоконики для которых проходят через точку $i$ (§ [[../17#104g|104, g]]):

$i{C}_3=\text{luog}.a?i\in a^2{C}_3=\text{inv}.R?i\in R^2{C}_3$

Шаблон:§ Прямые, полоконики для которых имеют двойную точку, — это в точности прямые, составляющие полярные коники для точек гессианы (§ [[../21#128|128]]), то есть прямые, касающиеся кейлианы.

Рассмотрим опять прямую $o{o}^{\prime }$ (рис. к § 133) и разыщем ее полоконику как место полюсов полярных коник, касающихся прямой $o{o}^{\prime }$. Поскольку $o{o}^{\prime }$ является частью полярной коники $u{C}_3$, точка $u$ является двойной точкой искомой полоконики (§ [[../21#128|128]]). Заметим теперь, что как полярная коника $o{C}_3$ пересекает прямую $o{o}^{\prime }$ в двух точках, совпадающих с $o^{\prime }$, а коника $o^{\prime }{C}_3$ — в двух точках, совпадающих с $o$; поэтому полоконика для этой прямой является парой прямых $uo,u{o}^{\prime }$.

Отсюда видно, что гессиана является местом двойных точек полоконик, вырождающихся в пару прямых, а также и оболочкой этих прямых (ср. § 133), в то время как кейлиана является оболочкой прямых, для которых вырождаются полоконики.

Шаблон:§ Место точки, относительно полярной коники для которой прямые $R$ и $R^{\prime }$ являются сопряженными, является коникой (именно второй смешанной полярной $R{R}^{\prime }$, введенной в общей теории), которую можно назвать смешанной полоконикой для прямых $R{R}^{\prime }$. Она является также местом полюсов любой из этих прямых относительно полярной коники для другой (§ [[../21#125a|125a, b]]).

Шаблон:§ Полярная прямая $a^2{C}_3$ для точки $a$ пересечения прямых $R,R^{\prime }$ касается полоконик $R^2{C}_3$ и ${R^{\prime }}^2{C}_3$ в двух точках, в которых она пересекает смешанную полоконику $R{R}^{\prime }{C}_3$ (§ [[../21#125c|125c]]).

Шаблон:§ Если прямая $R$ пересекает гессиану в трех точках $a,b,c$, полоконика $R^2{C}_3$ касается этой кривой в сопряженных к ним полюсах $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ (§ [[../20#122|122]], [[../21#127|127]]). Отсюда следует, что, если $R$ — обыкновенная касательная к гессиане, причем $a$ — точка касания, а $b$ — точка простого пересечения, то полоконика $R^2{C}_3$ имеет четырехточечное касание с гессианой в точке $a^{\prime }$ (полюсе, сопряженном к $a$) и двухточеченое касание в точке $b^{\prime }$ (полюсе, сопряженном к $b$). Если же прямая $R$ касается гессианы в точке перегиба $a$, то полоконика $R^2{C}_3$ имеет шеститочечное касание с гессианой в точке $a^{\prime }$ (§ [[../21#127d|127, d]]).

Шаблон:§ Шесть точек, в которых гессиана касается чистых полоконик для двух прямых, лежат на смешанной полоконике для этих прямых (§ [[../21#127|127]]). Поэтому:

Если две прямые пересекают гессиану в шести точках, то сопряженные к ним полюса лежат на одной и той же конике.

Если через три точки, в которых гессиана касается полоконики, провести произвольную конику, то она пересечет гессиану в трех новых точках, в которых эта кривая касается второй полоконики.

Мы видели в § 136b, что, если $o,o^{\prime }$ — сопряженные полюса (рис. к § 133), в которых гессиана касается прямых, проходящих через точку $u$, то эти прямые составляют чистую полоконику для прямой $o{o}^{\prime }$. Эта полоконика касается гессианы в точках $u,o,o^{\prime }$. Поэтому эти три точки и три другие аналогичные лежат на одной и той же конике.

Коника-спутник

Шаблон:§ Четыре касательные прямые, которые можно провести из точки $u$ к гессиане, составляют чистые полоконики для двух прямых, пересекающихся в точке $u^{\prime }$ и образующих полярную конику $u{C}_3$ (§ 136b). Точки касания этих четырех прямых лежат на конике, касающейся гессианы в точке $u$ (§ 130d), и поэтому точки касания гессианы и с чистыми полокониками для этих двух прямых, лежат на смешанной полоконике для этих двух прямых [§ 137a]. Отсюда:

Пусть точка $u$ лежит на гессиане $H{C}_3$ кривой $C_3$; если обозначить прямые, из которых состоит коника $u{C}_3$, как $R,R^{\prime }$, тогда

$uH{C}_3=R{R}^{\prime }{C}_3$.

Шаблон:§ Пусть секущая, проведенная произвольным образом через фиксированный полюс $o$, пересекает фундаментальную кубику в точках $a_1,a_2,a_3$, а полярную конику $o{C}_3$ в $m_1,m_2$. Отметим на этой секущей две точки ${\mu }_1,{\mu }_2$, определенные двумя уравнениями: Шаблон:Eq или же одним квадратным уравнением: Шаблон:Eq

В силу соотношений, имеющихся между тремя точками $a_1,a_2,a_3$ и двумя их гармоническими центрами $m_1,m_2$ ([[../3|Art. III.]]), имеем:

$\frac{1}{o{m}_1}+\frac{1}{o{m}_2}=\frac{2}{3}(\frac{1}{o{a}_1}+\frac{1}{o{a}_2}+\frac{1}{o{a}_3})$,

$\frac{1}{o{m}_1.o{m}_2}=\frac{1}{3}(\frac{1}{o{a}_2.o{a}_3}+\frac{1}{o{a}_3.o{a}_1}+\frac{1}{o{a}_1.o{a}_2})$,

поэтому уравнение (2) можно переписать так: Шаблон:Eq

Когда секущая вращается вокруг $o$, место точек ${\mu }_1,{\mu }_2$ описывает кривую второго порядка, которую можно назвать коникой-спутником (conica satellite) для полюса $o$.

Если точки $a_2,a_3$ совпадают, то есть если секущая касается кубики в точке $a_2$ и пересекает ее в точке $a_1$, то левая часть уравнения (3) имеет множитель $\frac{1}{o\mu }-\frac{1}{o{a}_1}$. Поэтому коника-спутник содержит шесть точек, в которых фундаментальная кубика пересекает касательные, проведенные через полюс.

Если точки $m_1{m}_2$ совпадают, то есть если секущая касается в точке $m_1$ поляной коники $o{C}_3$, то в силу (1) и сами точки ${\mu }_1,{\mu }_2$ совпадают с $m_1$, иными словами, в этой точке секущая касается и коники-спутника. Поэтому коника-спутник касается полярной коники в точках, в которых полярная коника пересекает полярную прямую.

Шаблон:§ Из этих двух свойств и теоремы § [[../8#39b|39b]] получается след.: если $o$ — точка гессианы, если если полярная коника для $o$ вырождается в пару прямых, пересекающихся в точке $o^{\prime }$, то также и коника-спутник вырождается в пару прямых, пересекающихся в этой точке, причем эта пара образована прямыми-спутниками тех прямых, которые составляют полярную конику для $o$.

Поэтому каждая из двух прямых, пересекающихся в точке $o^{\prime }$ и составляющих полярную конику для точки $o$, имеет в качестве точки-спутника точку $o^{\prime }$ (§ [[../8#39b|39b]]). Иными словами:

Гессиана — место точек-спутников прямых, касающихся кейлианы.

Шаблон:§ Отсюда можно получить другое определение кейлианы, заметив, что (см. рис. к § 133) точка $u$ является касательной точкой для $o^{\prime }$ (как и для $o$) относительно гессианы; поскольку же прямые $o(a,b,u,u^{\prime })$ составляют гармонический пучок, $o{o}^{\prime }$ — полярная прямая для $u{o}^{\prime }{C}_3$. Поэтому кейлиана является оболочкой прямых, являющихся смешанными вторыми полярами для двух точек гессианы, одна из которых является касательной для другой.