Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/9

Теорема Якоби

Шаблон:§ Среди $\frac{n(n+3)}{2}$ точек, которые полностью определяют простую кривую порядка $n$, может быть не более чем $np-\frac{(p-1)(p-2)}{2}$ точек, лежащих на кривой порядка $p<n$.

В самом деле, если $np-\frac{(p-1)(p-2)}{2}+1$ точек лежат на некоторой кривой порядка $p$, то остающиеся

$\frac{n(n+3)}{2}-np+\frac{(p-1)(p-2)}{2}-1=\frac{(n-p)(n-p+3)}{2}$

точки полностью определяют некоторую кривую порядка $n-p$ (§ [[../Число условий, определяющих кривую данного порядка или данного класса#34|34]]), которая вмести с заданной кривой порядка $p$ составляет место порядка $n$, проходящее через все заданные точки. Следовательно, максимальное число точек, которые можно взять произвольным образом на кривой порядка $p$, намереваясь использовать их для задания простой кривой порядка $n>p$, равно $np-\frac{(p-1)(p-2)}{2}$.

Теорема Плюкера

Шаблон:§ Пусть теперь даны две кривые, первая — порядка $p$, а вторая — порядка $q$, и пусть $p+q=n$. Если взять на кривой порядка $n$, составленной из этих кривых, произвольным образом $\frac{n(n+3)}{2}-1$ точек, то через них проходит бесконечное число кривых порядка $n$, имеющих еще $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$ общих пересечений (§ [[../Поризмы Шаля и теорема Л. Карно#41|41]]), распределенных некоторым образом по этим двум кривым. Выбирая произвольным образом эти $\frac{n(n+3)}{2}-1$ точек, можно взять $np-g$ на кривой порядка $p$ и $nq-h$ — на кривой порядка $q$, где $g,h$ — натуральные числа, подчиненные условию Шаблон:Eq Для того же, чтобы две кривые вполне определялись заданием этих точек , должно быть:

$np-g\ge \frac{p(p+3)}{2}$, $nq-h\ge \frac{q(q+3)}{2}$,

откуда

$g\le \frac{p(p-3)}{2}+pq$, $h\le \frac{q(q-3)}{2}+pq$.

Вспоминая, что величины $g$ и $h$ удовлетворяют условию 1), получаем:

$h\ge \frac{(q-1)(q-2)}{2}$, $g\ge \frac{(p-1)(p-2)}{2}$.

Тем самым зафиксированы границы, в которых могут меняться числа $g,h$. Допуская, что число $g$ лежит между нижней границей $\frac{(p-1)(p-2)}{2}$ и верхней границей $\frac{(p-1)(p-2)}{2}+p(n-p)-1$, а число $h$ выражается через $g$ соотношением (1), получаем следующее:

Все кривые порядка $n=p+q$, проходящие через $np-g$ точек, заданных на некоторой кривой $p$ и через $nq-h$ точек, заданных на кривой порядка $q$, пересекают первую кривую еще в других $g$ неподвижных точках, а вторую — в других $h$ неподвижных точках.

Шаблон:§ Из доказанной теоремы сразу следует:

Для того, чтобы через $n^2$ пересечений двух кривых порядка $n$ можно было провести кривую, составленную их двух кривых порядков $p,n-p$, необходимо и достаточно, чтобы среди этих пересечений $np-g$ принадлежало кривой порядка $p$, $n(n-p)-h$ — кривой порядка $n-p$.

Шаблон:§ Когда число $g$ достигает своей нижней грани, доказанная выше теорема может быть выражена так:

Каждая кривая порядка $n$, проходящая через $np-\frac{(p-1)(p-2)}{2}$ точек, заданных на кривой порядка $p<n$, пересекает ее еще в $\frac{(p-1)(p-2)}{2}$ других неподвижных точках.

Иными словами:

Если среди $n^2$ пересечений двух кривых порядка $n$ $np-\frac{(p-1)(p-2)}{2}$ точек лежат на кривой порядка $p<n$, то эта кривая содержит и другие $\frac{(p-1)(p-2)}{2}$ пересечения, а оставшиеся $n(n-p)$ пересечения лежат на некоторой кривой порядка $n-p$.

Впрочем, эта теорема может быть обобщена следующим образом.

Теорема Кели

Шаблон:§ Пусть даны две кривые, первая — $C_n$ порядка $n$, вторая — $C_m$ порядка $m<n$. Если среди их пересечений имеется $mp-\frac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}$ точек, лежащих на кривой $C_p$ порядка $p<n$, эта кривая содержит еще $\frac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}$ других пересечений; а оставшиеся $m(n-p)$ пересечений лежат на некоторой кривой порядка $n-p$.

В самом деле, из $(n-m)p$ пересечений кривых $C_p,C_n$, не общих с $C_m$, возьмем $\frac{(n-m)(n-m+3)}{2}$ и проведем через них некоторую кривую $C_{n-m}$ порядка $n-m$. Тогда получим два места порядка $n$: одно - простую кривую $C_n$, другое - составную кривую $C_m+C_{n-m}$. Кривая $C_p$ содержит Шаблон:Eq пересечений этих двух мест, поэтому (§ 43b) содержит также и еще $\frac{(p-1)(p-2)}{2}$ таких точек, а именно, $\frac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}$ точек, в которых пересекаются $C_n$ и $C_m$, и $(n-m)p-\frac{(n-m)(n-m+3)}{2}$ точек, в которых пересекаются $C_n$ и $C_{n-m}$; остальные же точки пересечения $C_n$ и $C_m+C_{n-m}$ лежат на некоторой кривой порядка $n-p$.

Из этой теоремы следует, что $mp-\frac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}$ заданных точек, общих для трех кривых $C_n,C_m,C_p$, определяют другие $\frac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}$ точки, общие этим кривым. Все эти точки полностью определены заданием кривых $C_m$, $C_p$, и не зависят от $C_n$; поэтому:

Произвольная кривая порядка $n$, проведенная через $mp-\frac{(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}$ пересечений двух кривых порядков $m,p$ ($m,p$ не больше $n$), проходит также через все другие точки пересечения этих кривых.

Приложения

Шаблон:§ Только что доказанные теоремы весьма важны по причине частого использования в теории кривых. Мы, однако, ограничимся рассмотрением нескольких интересных примеров.

Шаблон:§ Пусть кривая порядка $n$ пересекает одну секущую в точках $a,b,\dots$, а другую — в точках $a^{\prime },b^{\prime },\dots$. Рассмотрим систему $n$ прямых $a{a}^{\prime },b{b}^{\prime },\dots$ как место порядка $n$, оставшиеся пересечения этого места с заданной кривой (43, b) лежат на некоторой кривой порядка $n-2$. Допустим теперь, что $a^{\prime },b^{\prime },\dots$ совпадают соответственно с $a,b,\dots$; тогда получается теорема:

Пусть в точках, в которых кривая порядка $n$ пересекает прямую, проведены касательные к кривой, тогда эти последние пересекают кривую в других $n(n-2)$ точках, лежащих на некоторой кривой порядка $n-2$.

Шаблон:§ Аналогично доказывается общая теорема:

Пусть точки, в которых кривую порядка $n$ пересекает другая кривая порядка $n^{\prime }$, проведены касательные к первой кривой, тогда эти последние пересекают ее в других $n{n}^{\prime }(n-2)$ точках, лежащих на некоторой кривой порядка $n^{\prime }(n-2)$.

Эта теорема есть прямое следствие свойства, доказанного в § 44, нужно лишь рассмотреть совокупность $n{n}^{\prime }$ касательных как место порядка $n{n}^{\prime }$, а кривую порядка $n^{\prime }$, повторенную дважды, как место порядка $2n^{\prime }$.

Шаблон:§ Пусть кривая третьего порядка проходит через вершины шестиугольника и через две из трех точек пересечения трех пар противоположных сторон, тогда и точка пересечение третьей пары противоположных сторон лежит на кривой. В самом деле, первая, третья и пятая стороны шестиугольника образуют место третьего порядка, в то же время другое место того же порядка составляют три противоположные им стороны. Новые пересечения этих двух мест — это шесть вершин шестиугольника и три точки пересечения противоположных сторон. Но восемь из этих точек по предположению лежат на заданной кривой, поэтому ([[../Поризмы Шаля и теорема Л. Карно#41|41]]) и девятая точка лежит на этой кривой, что и тр. д.

Если шесть вершин лежат кривой второго порядка, то другие три пересечения должны лежать на прямой (43b), что приводит к знаменитой [[w:Теорема Паскаля|теорема Шаблон:Персона]]:

Противоположные стороны шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, пересекаются в трех точках, лежащих на одной прямой.

Отсюда, по принципу двойственности, следует [[w:Теорема Брианшона|теорема Шаблон:Персона]]:

Прямые, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой второго класса, пересекаются в одной и той же точке.

Шаблон:§ Возвращаясь к шестиугольнику, вписанному в кривую третьего порядка, обозначим как 1, 2, 3, 4, 5, 6 вершины и как $a,b,c$ точки, где пересекаются пары противоположных сторон [12, 45], [23,56], [34, 61]. Если точки 1 и 2 бесконечно близки на кривой, как и точки 4 и 5, то точки 1, 3, 4, 6, $b,c$ являются вершинами полного четырехсторонника, а $a$ - точкой пересечения касательных к кривой в точках 1 и 4; поэтому:

Если полный четырехсторонник вписан в кривую третьего порядка, касательные к кривой, проведенные в двух противоположных вершинах, пересекаются на кривой.

Пусть теперь $a,b,c,a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ — вершины полного четырехсторонника, вписанного в кривую третьего порядка, вершины $a,b,c$ лежат на одной прямой, а $a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }$ — вершины им противоположные. Касательные, проведенные в вершинах $a$ и $a^{\prime }$, пересекаются в точке $\alpha$, лежащей по доказанному на кривой. Аналогично, касательные, проведенные в вершинах $b$, $b^{\prime }$ и $c$, $c^{\prime }$, пересекаются в трех точках $\beta$ и $\gamma$, лежащих на кривой. Поскольку три точки $a$, $b$ и $c$ лежат на одной прямой третьего порядка, то и точки $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, касательные относительно этих точек, лежат на одной прямой (39b). Таким образом, верно:

Если полный четырехсторонник вписан в кривую третьего порядка, пары касательных, проведенных в противоположных вершинах, пересекаются в трех точках кривой, лежащих на одной прямой.