О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/3

Шаблон:§ Пусть кривые заданного пучка порядка $n$ имеют общую точку $o$ кратности $r$ и пусть $o^{\prime },o^{″}$ — две точки, зафиксированные на плоскости произвольным образом (ср. Introd. 88). Поляры для $o$ относительно этих кривых имеют в $o$ точку кратности $r$ с теми же касательными, что и заданные кривые и эти касательные составляют инволюцию степени $r$. Напротив, поляры для $o^{\prime }$ имеют в $o$ точку кратности $(r-1)$ и их касательные можно собрать в инволюцию степени $r-1$. Эти две инволюции проективны и в силу Introd. 74 произвольная группа второй инволюции является полярой для $o^{\prime }$ относительно пучка прямых, составляющих соответствующую группу в первой инволюции.

Два пучка поляр для $o$ и $o^{\prime }$, будучи проективными, порождают кривую порядка $2(n-1)$, имеющую в $o$ точку кратности $(2r-1)$, касательные в которой — это лучи, общие двум описанным выше инволюциям, которым, очевидно, являются прямая $o{o}^{\prime }$ и двойные лучи инволюции степени $r$ (Introd. 19).

Аналогично, поляры для $o$ и $o^{″}$ порождают другую кривую порядка $2(n-1)$, проходящую $(2r-1)$ раз через точку $o$ и имеющую здесь в качестве касательных прямую $o{o}^{″}$ и двойные лучи инволюции степени $r$.

Таким образом, две кривые порядка $2(n-1)$ имеют в $o$ точку кратности $(2r-1)$ и $2(r-1)$ общих касательных, поэтому точка $o$ представляет $(2r-1{)}^2+2(r-1)$ пересечений этих кривых. Поскольку $o$ может быть заменена на $r^2$ базовых точек пучка поляр для $o$ и поскольку $(2r-1{)}^2+2(r-1)-r^2=(r-1)(3r+1)$, имеем:

Если кривые некоторого пучка имеют общую точку кратности $r$, то эта точка эквивалентна $(r-1)(3r+1)$ двойным точкам этого пучка.

Шаблон:§ Допустим теперь, что кривые заданного пучка имеют в общей точке $o$ кратности $r$ также и $r$ общих касательных: в этом случае обозначим как $C_n$ ту кривую, которая имеет $r+1$ дуг, пересекающихся в $o$ (Introd. 48).

Поляры для $o$ имеют в $o$ точку кратности $r$, а поляра $o{C}_n$ проходит $r+1$ раз через эту точку. Эта же точка имеет кратность $r-1$ для поляр для $o^{\prime }$, за исключением поляры $o^{\prime }{C}_n$, которая имеет $r$ дуг, пересекающихся в $o$. Два пучка поляр, будучи проективными, порождают кривую порядка $2(n-1)$ с точкой кратности $(2r)$ в $o$ (Introd. 51).

Аналогично, поляры для $o$ и для $o^{″}$ порождают другую кривую того же порядка, имеющую $2r$ дуг, пересекающихся в $o$. Это означает, что эта точка считается за $4r^2$ пересечений построенных двух кривых порядка $2(n-1)$. С другой стороны $o$ представляет $r^2+r$ базовых точек пучка поляр для $o$ (Introd. 32); поэтому в $o$ собрано $3r^2-r$ двойных точек заданного пучка.

Шаблон:§ Если среди общих касательных в $o$ к заданным кривым имеется $s$, совпадающих с некоторой прямой $R$, эта последняя касается в $o$ $s$ дуг каждой из поляр для $o$ и $s-1$ дуг каждой из поляр для $o^{\prime }$ и для $o^{″}$ (Introd. 74). Следовательно, каждая из двух построенных выше кривых порядка $2(n-1)$ в $o$ имеет $s-1$ касательную, совпадающую с прямой $R$. В этом случае точка $o$ представляет $4r^2+s-1$ пересечений названных кривых. Итого:

Если кривые некоторого пучка имеют общую точку кратности $r$ и в ней все касательные явлются тоже общими, причем $s$ из них совпадают с одной и той же прямой, то эта точка считается как $r(3r-1)+s-1$ двойных точек пучка.

В частности, если $s=r$, то есть все касательные совпадают с одной и той же прямой, кратная общая точка эквивалентна $3r^2-1$ двойным точкам пучка.

Шаблон:§ Предположим наконец, что одна единственная кривая $C_n$, среди кривых заданного пучка, проходит $r$ раз через точку $o$ и здесь имеет $s$ касательных, сливающихся с одной прямой $R$. Тогда поляра $o{C}_n$ имеет $r$ дуг, пересекающихся в точке $o$ и имеющих те же касательные, что и кривая дуги $C_n$. Поляра $o^{\prime }{C}_n$ имеет в $o$ точку кратности $(r-1)$ с $s-1$ касательными, совпадающими с $R$. Поэтому пучки поляр для $o$ и для $o^{\prime }$ порождают некоторую кривую порядка $2(n-1)$, имеющую точку кратности $(r-1)$ в $o$ и $s-1$ касательных, совпадающих с $R$ (Introd. 51, g). Аналогичная кривая с теми же свойствами порождается полярами для $o$ и для другой произвольным образом выбранной точки $o^{″}$. Значит, для этих двух кривых порядка $2(n-1)$ точка $o$ считается за $(r-1{)}^2+s-1$ пересечений; итого:

Если в некотором пучке имеется кривая с точкой кратности $r$ и $s$ совпадающими касательными, то эта точка считается за $(r-1{)}^2+s-1$ двойных точек пучка.

Шаблон:§ Если точка $o$, имеющая кратность $r$ для кривой $C_n$, принадлежит также как простая точка другой кривой заданного пучка, то в этой точке имеет место касание кратности $r$, поэтому все поляры для $o$ проходят через $o$, то есть в этой точке пересекаются $r$ дуг каждой из кривых порядка $2(n-1)$, порождаемых двумя пучками. Отсюда следует, что эти кривые имеют $r^2+s-1$ пересечений в $o$. Но в этой точке также сливаются $r$ базовых точек пучка поляр для $o$; поэтому:

Если кривая некоторого пучка проходит $r$ раз через некоторую базовую точку и имеет здесь $s$ совпадающих касательных, то эта точка считается как $r(r-1)+s-1$ двойных точек пучка.