Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/6

Шаблон:§ В скольких точках пересекаются две кривые порядков $n$ и $n^{\prime }$ соответственно? Допуская, как очевидный принцип, что число пересечений зависит только от чисел $n,n^{\prime }$, видим, что это число не изменится, если заменить данные кривые другими местами тех же порядков. Если заметить кривую порядка $n^{\prime }$ на $n^{\prime }$ прямых, они будут пересекать кривую порядка $n$ в $n{n}^{\prime }$ точках; поэтому: две кривые порядков $n,n^{\prime }$ пересекаются в $n{n}^{\prime }$ точках (вещественных, мнимых, различных или совпадающих).

Говорят, что две кривые имеют двух-, трех-, … точечное пересечение, если две, три, … следующие друг за другом точки являются общими для этих кривых, а следовательно, общими являются [одна], две, … касательные.

Если через точку $a$ проходит $r$ дуг одной кривой и $r^{\prime }$ дуг другой, то эта точка рассматривается как пересечение каждой из дуг первой кривой с каждой дугой второй кривой, поэтому она эквивалента $r{r}^{\prime }$ совпадающим точкам пересечения. Если же одна из дуг первой кривой и одна из дуг второй имеют в $a$ общую касательную, то они имеют здесь две общие точки, и поэтому $a$ эквивалентна $r{r}^{\prime }+1$ точкам пересечения. В общем случае, если в $a$ две кривые имеют $s$ общих касательных, то точка $a$ эквивалентна $r{r}^{\prime }+s$ точкам, общим обеим кривым.

В особом случае, когда $r$ касательных к первой кривой и $r^{\prime }$ ко второй в точке $a$ совпадают с одной единственной прямой $T$, эта прямая, если $r^{\prime }<r$, представляет $r^{\prime }$ общих касательных, и поэтому число собранных в $a$ пересечений равно $r^{\prime }(r+1)$. Но это число будет становиться еще больше всякий раз, когда прямая $T$ имеет касание большего порядка с каждой из рассматриваемых линий, то есть когда они пересекают ее более чем в $r+1$ или $r^{\prime }+1$ точках, собранных $a$.

Напр., если бы в точке $a$ прямая $T$ имела $2r$ точек, общих с первой кривой, и $r^{\prime }+1$ — со второй, то точка $a$ была бы эквивалентна $r(r^{\prime }+1)$ точкам пересечения двух кривых. Чтобы легко убедиться в этом, рассмотрим систему $r$ кривых $K$ второго порядка, имеющих общую точку $a$ и здесь касающихся одной и той же прямой $T$; и, кроме того, другую произвольную кривую $C$, имеющую $r^{\prime }$ дуг, проходящих через $a$ и имеющих здесь общую касательную $T$. В этом случае точка $a$ представляет $r^{\prime }+1$ пересечение $C$ с каждой из кривых $K$; и поэтому она эквивалентна $r(r^{\prime }+1)$ точкам, общим кривой $C$ и системе, составленной из кривых $K$. Аналогично доказывается, что две кривые классов $m,m^{\prime }$ соответственно, имеют $m{m}^{\prime }$ общих касательных. И т.д.