О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/2

Шаблон:§ [Обратимся теперь к доказательству теоремы Introd. 69c, которое не было там приведено.]

Lemma 1.° Поляра для произвольной точки проходит через двойные точки фундаментальной кривой (Introd. 16).

Lemma 2.° Поляры для фиксированной точки относительно кривых пучка образуют другой пучок (Introd. 84a).

Lemma 3.° Если фундаментальная кривая составлена из прямой и некоторой другой кривой, и если полюс взят на этой прямой, то поляра составлена из этой же прямой и поляры, взятой относительно второй кривой (Это свойство следует из определение поляры и теоремы Introd. 17).

Lemma 4.° Если через $n^2$ точек, в которых кривая порядка $n$ пересекается с $n$ прямыми, проходящими через точку $o$, повести еще одну кривую того же порядка, то точка $o$ имеет одну и ту же поляру как относительно первой, так и относительно второй кривой. (В самом деле, поляры для $o$ относительно двух этих кривых имеют $n-1$ общих точек с каждой из $n$ заданных прямых).

Шаблон:§ Пусть теперь дана фундаментальная кривая $C_n$ порядка $n$, и пусть $o$ и $o^{\prime }$ — две заданные произвольным образом точки. (…)

Проведем через $o^{\prime }$ прямую $R$, и пусть $J_n$ — пучок $n$ прямых, соединяющих точку $o$ с $n$ пересечениями кривой $C_n$ и прямой $R$. Все оставшиеся $n(n-1)$ пересечений кривой $C_n$ с местом $J_n$ лежат на некоторой кривой $C_{n-1}$ порядка $n-1$ (Introd. 43b). Поскольку кривая $C_n$ принадлежит пучку $(J_n,R\cup C_{n-1})$, поляра $o^{\prime }{C}_n$ принадлежит, в силу леммы 2°, пучку $({\phi }_{n-1},R\cup {\mathrm{\Gamma }}_{n-2})$, где ${\phi }_{n-1}$ — пучок из $n-1$ прямых, пересекающихся в точке $o$ и составляющих поляру $o^{\prime }{J}_n$ (Introd. 20), а ${\mathrm{\Gamma }}_{n-2}$ — поляра $o^{\prime }{C}_{n-1}$, поскольку в силу леммы 3° такая кривая ${\mathrm{\Gamma }}_{n-2}$ вмести с прямой $R$ составляют поляру $o^{\prime }R\cup C_{n-1}$. Из леммы 4° поэтому следует, что кривая $o{o}^{\prime }{C}_n$ ничто иное как поляра для $o$ относительно $R\cup {\mathrm{\Gamma }}_{n-2}$, поэтому в силу леммы 1° она проходит через $n-2$ пересечения места ${\mathrm{\Gamma }}_{n-2}$ с прямой $R$.

Из того, что $C_n$ проходит через $n^2$ пересечений мест $J_n$ и $R\cup C_{n-1}$, следует в силу леммы 4°, что поляра $o{C}_n$ совпадает с полярой $oR\cup C_{n-1}$, поэтому в силу леммы 1° она проходит через $n-1$ пересечений кривой $C_{n-1}$ с прямой $R$. Кривая $o^{\prime }o{C}_n$ проходит, следовательно, через $n-2$ гармонических центов системы, образованной названными $n-1$ пересечениями, относительно полюса $o^{\prime }$, то есть $o^{\prime }o{C}_n$ проходит через $n-2$ точек, в которых прямая $R$ пересекает ${\mathrm{\Gamma }}_{n-2}$.

Таким образом, смешанные поляры $o{o}^{\prime }{C}_n$ и $o^{\prime }o{C}_n$ имеют $n-2$ общих точек на секущей, проведенной произвольным образом через точку $o^{\prime }$, а это возможно лишь тогда, когда эти две кривые совпадают.

Шаблон:§ Возьмем теперь на плоскости произвольным образом $\mu +1$ точек $o,o^{\prime },o^{″},\dots o^{(\mu )}$. (…) Из только что доказанной теоремы следует, что поляра $o{o}^{\prime }{o}^{″}\dots o^{(\mu )}{C}_n$ не меняется при изменении порядка полюсов $o,o^{\prime },o^{″},\dots o^{(\mu )}$. Если еще предположить, что $p$ из этих точек совпадают с единственной точкой $o$, а оставшиеся $\mu +1-p=q$ полюсов — с точкой $o^{\prime }$, то получится общая теорема:

Для любой фундаментальной кривой $p$-ая поляра для точки $o$ относительно $q$-ой поляры для другой точки $o^{\prime }$ совпадает с $q$-ой полярой для $o^{\prime }$ относительно $p$-ой поляры для $o$, то есть

$o^p{o^{\prime }}^q{C}_n={o^{\prime }}^q{o}^p{C}_n$.