ЭСГ/Сечение золотое

Сечение золотое, иначе золотое, или божественное деление, — известное из древности деление данного отрезка на две части так, чтобы бòльшая часть была средней пропорциональной между всей прямой и меньшей ее частью. В настоящее время такое С. отрезка наз. делением его в крайнем и среднем отношении. Открытие С. з. принадлежит знаменитому греческому математику V в. до н. э. Эвдоксу Книдскому, который создал и общую теорию геометрических отношений и пропорций. Указав способ геометрического построения для решения задачи, он вывел также некоторые свойства получающихся при этом делении отрезков, а именно: если назовем разделяемый отрезок l, большую часть его a и меньшую b, то ${(a+\frac{l}{2})}^2=5.{\left(\frac{l}{2}\right)}^2$; ${(b+\frac{a}{2})}^2=5.{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$; $l^2+b^2=3a^2$; $\frac{l+a}{l}=\frac{l}{a}$ и пр. В настоящее время задача обыкновенно решается алгебраически; называя большую часть отрезка l чрез x, имеем пропорцию: $l:x=x:(l-x)$, откуда $x^2=l(l-x)$ или $x^2+lx-l^2=0$ и $x=-\frac{l}{2}\pm \sqrt{\frac{l^2}{4}+l^2}$. Отбрасывая отрицательный корень, имеем: $x=a=\sqrt{\frac{l^2}{4}+l^2}-\frac{l}{2}$, что легко может быть построено при помощи циркуля и линейки. Алгебраически удобнее представить оба отрезка формулами: $a=\frac{l(\sqrt{5}-1)}{2}$ и $b=\frac{l(3-\sqrt{5})}{2}$. Для приближенного построения можно довольно точно принять $a=\frac{5}{8}l$. С любою степенью точности a может быть получено с помощью представления $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ в виде непрерывной дроби, при чем получается замечательное разложение: $\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\dots }}}$

С. з. своим названием и славою обязано было убеждению древне-греческих ученых в том, что в нем заключается математический закон красоты. Так, они полагали, что из всех прямоугольников наиболее эстетическое впечатление производит тот, у которого стороны представляют части отрезка, деленного по С. з., из эллипсов — тот, у которого полуоси удовлетворяют той же пропорции, и т. д. С. з. они склонны были видеть в пропорции тела красивейших людей, частей красивых зданий и т. д. Того же взгляда держались и средневековые математики, и такие художники, как Альбрехт Дюрер, Леонардо да Винчи и др.; под влиянием Леонардо да Винчи была написана по этому вопросу известным ученым Лукой Пачиоли в 1609 г. книга «Божественное деление», с чертежами, сделанными Леонардо да Винчи. В новейшее время эстетическому значению С. з. было посвящено сочинение «Эстетические изыскания» д-ра Цейзинга, 1855 г., частично переведенное на русск. язык под заглавием: «Золотое деление, как основной морфологический закон в природе и искусстве. (Открытие проф. Цейзинга)», с примеч. и объяснен. изложил Ю. Ф. В., М., 1876 г. В этой книге на ряде примеров из области архитектуры, музыки, ботаники и пр. доказывается, что С. з. — действительно основной закон красоты. Однако, проверка в новейшее время этого положения средствами экспериментальной психологии показала, что законы эстетики чрезвычайно сложны и во всяком случае не могут быть выражены такими простыни формулами, какова формула С. з.