ЭСБЕ/Эллиптические интегралы и функции

Эллиптические интегралы и функции. — Э. интегралами называются все квадратуры вида:

$\int f(x,\sqrt{X})dx,$

Интеграл первого рода в нормальной форме имеет вид:

$\mathrm{\Delta }\phi =\sqrt{1-k^2{\mathrm{Sin}}^2\phi }$.

Значит $F$ есть функция от $\phi$, верхнего предела $\phi$, заключающая в себе еще постоянную величину $k$, называемую модулем.

Если положим $x=\mathrm{Sin}\phi$, то интеграл $F(\phi )$, который теперь обозначим через $u$, будет иметь вид:

$u=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2{x}^2)}}=F(\phi )$

Так как $u$ есть функция от $\phi$, то, обратно, $\phi$ есть функция от $u$. Эту обратную функцию называют амплитудой от $u$ по модулю $k$. Ее обозначают так: $\phi =\mathrm{am}(u,k)$ или просто $\phi =\mathrm{am}u$. Ближайшее рассмотрение показывает, что с равномерным возрастанием $u$ функция $\mathrm{am}u$ возрастает непрерывно, но периодически, то возрастая быстрее, чем следовало бы по закону равномерности, то медленнее, чем следовало бы по тому же закону. Когда $\phi$ достигает величин $\frac{1}{2}\pi$, $\pi$, $\frac{3}{2}\pi$, $2\pi$, ...., то и достигает величин $K,2K,3K,4K$..., где

Величины $x=\mathrm{Sin}\phi$, $\sqrt{1-x^2}=\mathrm{Cos}\phi$ и $\mathrm{\Delta }\phi$ суть Э. функции от $u$; так как $\phi =\mathrm{am}u$, то:

$x=\mathrm{\Pi }(u,a)=A$; $\sqrt{1-x^2}=\mathrm{Cos}\mathrm{am}u$, $\sqrt{1-k^2{x}^2}=\mathrm{\Delta }\mathrm{am}u$;

Нормальная форма Э. интеграла второго рода следующая:

При $\phi$ равном $\frac{1}{2}\pi$, когда $u$ (по формуле (2)) обращается в $K$, интеграл (4) обращается в величину, обозначаемую буквой $E$:

$E=E(K)$.

Дополнительным модулем назыв. величина $k^{\prime }$, квадрат которой равен $(1-k^2)$, так что $k^2+(k^{\prime }{)}^2=1$. Означим через ${\mathrm{\Delta }}_1\phi$ следующий корень:

${\mathrm{\Delta }}_1\phi =\sqrt{1-k^2{\mathrm{Sin}}^2\phi }$ $K^{\prime }=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{d\phi }{{\mathrm{\Delta }}_1\phi },E=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\mathrm{\Delta }\phi d\phi ,$

Лежандр показал, что между четырьмя величинами $K$, $E$, $K^{\prime }$ и $E$ существует следующая зависимость:

Интегралы третьего рода имеют такой вид:

$\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{d\phi }{(1-n{\mathrm{Sin}}^2\phi )\mathrm{\Delta }\phi }$

Якоби взял в качестве нормального вида интегралов этого рода интеграл, обозначенный им через П (и,а), а именно, следующий:

Как Э. интегралы, так и Э. функции могут быть выражены помощью особой трансцентной функции $\mathrm{\Theta }(u)$ или $\vartheta (x)$, называемой функцией тета Якоби. Функция эта может быть представлена в виде бесконечного ряда:

или в виде суммы бесконечного числа членов

Здесь $x$ имеет иное значение, чем в начале этой статьи; а именно, все входящие в (9) и (10) знаки имеют следующие значения:

$x=\frac{\pi u}{2K}$, $q=e^{-\pi \frac{K^{\prime }}{K}}$, $i=\sqrt{-1}$,

$n$ в сумме $\sum$ означает всякие целые полож. и отриц. числа от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$.

При помощи этой функции интегралы второго и третьего рода выразятся так:

где ${\mathrm{\Theta }}^{\prime }(u)$ означает производную от $\mathrm{\Theta }(u)$ по $u$.

Из функции $\vartheta (x)$ Якоби составляет еще три функции следующим образом.

Если прибавить к $u$ величину $K$, то к $x$ прибавится величина $\frac{\pi }{2}$, а если прибавить к $u$ величину $(-i{K}^{\prime })$, то к $x$ прибавится $\frac{1}{2}i\log q$. Новые функции Якоби получает и обозначает таким образом:

${\vartheta }_1(x)=is\vartheta (x+\frac{1}{2}i\log q)$ ${\vartheta }_2(x)=s\vartheta (x+\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}i\log q)$ ${\vartheta }_3(x)=\vartheta (x+\frac{\pi }{3})$,

В этих функциях выразятся эллиптические функции синус, косинус и дельта амплитуды так:

$\mathrm{Sin}\mathrm{am}u={\left(\sqrt{k}\right)}^{-1}\frac{{\vartheta }_1(x)}{\vartheta (x)}$, $\mathrm{Cos}\mathrm{am}u=\left(\sqrt{\frac{k^{\prime }}{k}}\right)\frac{{\vartheta }_2(x)}{\vartheta (x)}$, $\mathrm{\Delta }\mathrm{am}u=\sqrt{k^{\prime }}\frac{{\vartheta }_3(x)}{\vartheta (x)}$,

Функции эти обладают двоякой периодичностью в следующем смысле.

Если $u$ есть комплексная переменная (см. [[../Мнимые величины|Мнимые величины, XIX, 542]]): $u=x+yi$, то каждая из этих функций обратится в $X+Yi$, где $X$ и $Y$ будут функциями от $x$ и $y$, т. е.:

$X=f_1(x,y)$, $Y=f_2(x,y)$.

Эти две функции представляют собой две поверхности, покрывающие неограниченную плоскость, точки которой, отнесенные к двум взаимно ортогональным осям имеют абсциссы $x$ и ординаты $y$. Обе эти поверхности периодичны и имеют период $2K$ параллельно оси абсцисс и другой период $2K^{\prime }$ параллельно оси ординат, так что высота каждой из этих поверхностей над четырьмя точками, имеющими координаты: $(x,y)$, $(x+2K,y)$, $(x,y+2K^{\prime })$, $(x+2K,y+2K^{\prime })$ одинаковы.

[[../Вейерштрасс, Карл-Теодор-Вильгельм|Вейерштрасс (VI, 488)]] в своей теории эллиптических функций берет следующий Э. интеграл:

Нижний предел $s$ этого интеграла представляет собой некоторую Э. функцию от $\mathrm{u}$; эту функцию обозначим так:

$s=\mathrm{p}\mathrm{u}$;

Вторая часть этого равенства может быть представлена в виде:

$4[(\mathrm{p}\mathrm{u}-e_1)(\mathrm{p}\mathrm{u}-e_2)(\mathrm{p}\mathrm{u}-e_3)]$, $\mathrm{\Delta }=g_2^3-27g_2^3$

Функция $\mathrm{p}\mathrm{u}$ имеет два примитивные периода

$2{\omega }_1=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{dy}{\sqrt{4y^3-g_{2}y-g_3}}=\frac{2K}{\sqrt{e_1-e_3}}$ и $2{\omega }_3=\frac{2K}{\sqrt{e_1-e_3}}$,

Величины $k^2$ и $k{\text{'}}^2$ выражаются так:

$k^2=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3}$, $(k^{\prime }{)}^2=\frac{e_1-e_2}{e_1-e_3}$.

Когда $k^2$ есть действительная величина, то точки 0, $2{\omega }_1$, $2{\omega }_3$ находятся на плоскости u в вершинах прямоугольного треугольника, имеющего вершину прямого угла в точке 0.

Когда $k^2$ есть комплексная величина с положительной мнимой частью, то точки 0, $2{\omega }_1$, $2{\omega }_3$, образуют остроугольный треугольник, с острым углом при 0. Если же мнимая часть комплексной величины $k^2$ отрицательная, то 0 будет вершиной тупого угла.

Функция $\mathrm{p}\mathrm{u}$ может быть выражена следующим образом через синус амплитуды:

$\mathrm{p}\mathrm{u}=\frac{e_3(e_1-e_3)}{{\mathrm{Sin}}^2\mathrm{am}\mathrm{u}\sqrt{e_1-e_2}}$;

Вместо функции тета Вейерштрасс вводит функцию $\sigma \mathrm{u}$, удовлетворяющую дифференциальному уравнению:

$\mathrm{p}\mathrm{u}=\left(\frac{d^2}{d{\mathrm{u}}^2}\right)\log (\sigma \mathrm{u})$.

Теория Э. функций, по изложению Якоби, находится в следующих книгах: «Шаблон:Lang» (в 1-м томе «Шаблон:Lang», Б., 1881); Durège, «Шаблон:Lang» (Лпц., 1861). Теория по Вейерштрассу изложена в книгах: Halphen, «Шаблон:Lang» (1-я часть, П., 1886); Appell et Lacour, «Шаблон:Lang» (П., 1897); Schwarz, «Шаблон:Lang»; Enneper, «Шаблон:Lang» (2-е изд., Галле, 1890). Шаблон:ЭСБЕ/Автор2