ЭСБЕ/Эллипс

Эллипс. — Предположим, что на плоскости даны две точки $F$ и $F_1.$ Геометрическое место точки $M,$ для которой сумма расстояний $MF$ и $M{F}_1$ — величина постоянная, есть кривая линия, называемая Э. Точки $F$ и $F_1$ суть фокусы. Если в точке $F$ или $F_1$ поместить источник света, то лучи после отражения от дуги Э. соберутся в $F_1$ или $F.$ Отсюда и происходит название фокус (очаг, foyer, Brennpunkt). Точка О, делящая прямолинейный отрезок $F{F}_1$ пополам, есть центр кривой. Это значит, что в точке О делится пополам всякая хорда, проходящая через эту точку. Введем обозначения:

$MF+M{F}_1=2a$, $F{F}_1=2c$, $b=\sqrt{a^2-c^2}$.

Если начало координат возьмем в точке O, ось x-ов направим по линии $F{F}_1$, ось у-ов по перпендикуляру к $F{F}_1$, то уравнение Э. будет

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

Вид этой кривой изображен на табл. 1, фиг. 1 (XVI, 740). Отложим по оси х-ов расстояние $OD$, равное $\frac{a^2}{c}$, в ту сторону, где находится точка $F$, и проведем прямую $DE$ перпендикулярно к оси x-ов. Эта прямая называется директриссой. Расстояние $M$ до этой прямой обозначим через $MP$. Для всякой точки $M$ Э. отношение $\frac{MF}{MP}$ есть величина постоянная, называемая эксцентриситетом и обозначаемая буквой $e$. В нашем случае $e=\frac{c}{a}$. Это показывает, что для Э. $e<1$. По другую сторону центра лежит фокус $F_1$ и соответствующая ему директрисса $D_1{E}_1$. Точки пересечения Э. с осью х-ов (на ней находятся фокусы) обозначим через $A$ и $a_1$, а с осью у-ов через $B$ и $B_1$. В таком случае

$A{A}_1=2a$, $B{B}_1=2b$.

Шаблон:Noindent$A{A}_1$ назыв. большой осью Э., а $B{B}_1$ — малой осью. Точки $A$, $A_1$, $B$, $B_1$ назыв. вершинами Э. Мы предполагаем, что $A$ и $B$ находятся на положительных частях осей координат, а $A_1$ и $B_1$ — на отрицательных. Если начало координат перенесем в $A_1$ и сохраним прежнее направление осей координат, то уравнения Э. будет

$y^2=2px+q{x}^2$,

Шаблон:Noindentгде $p=\frac{b^2}{a^2}$, $q=-\frac{b^2}{a^2}$. Число $2p$ называется параметром. Уравнение

$r=\frac{p}{1+e\cos \varphi }$

Шаблон:Noindentвыражает Э. относительно полярной системы координат, причем полюс находится в фокусе, а полярная ось проходит через вершину Э. При пересечении конуса плоскостью, удовлетворяющей некоторым условиям, получается Э. См. [[../Конические сечения|Конические сечения (XV, 954)]].