ЭСБЕ/Шаровые функции

Шаровые функции — представим себе точку M на поверхности шара, центр которого есть точка C. Предположим, что дана точка O вне шара (I) или внутри его (II).

Введем обозначения: MC=R, CO=ρ, MO=r, угол MCO=ω.

Из треугольника MCO следует, что

Это выражение можно представить:

(в случае I) или

(в случае II).

Полагая $\cos \omega =x$, $\frac{R}{\rho }$ или $\frac{\rho }{R}$ равным α, получим, что r выражается в обоих случаях через

, где $\alpha <1$.

Во многих вопросах математической физики приходится $\frac{1}{R}$ разлагать в ряд. Этот вопрос приводится к разложению функциипо степеням α. Выполнив это разложение, получим:

где $P_0=1,P_1=x,P_2=\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2},P_3=\frac{5}{2}{x}^3-\frac{3}{2}x,...P_n=$

Полученные здесь целые функции от x называются Лежандровыми функциями или, по Гауссу, шаровыми функциями.

При помощи строки Лагранжа доказывается, что $P_n(x)$ есть n-ая производная целой функции:

$\frac{(x^2-1{)}^n}{1\cdot 2\cdot 3\cdot ...n\cdot 2^n}$.

Уравнение $P_n(x)=0$ имеет все корни вещественные, лежащие между -1 и +1.

Функция $P_n(x)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению:

$(1-x^2)y^{″}-2x{y}^{\prime }+n(n+1)y=0$.

Между тремя последовательными функциями $P_n$, $P_{n-1}$ и $P_{n-2}$ имеет место соотношение:

$n{P}_n-(2n-1)\times P_{n-1}+(n-1)P_{n-2}=0$.

Из сочинений, посвященных рассматриваемому вопросу, отметим следующие: Р. G. Lejeune-Dirichlet, «Vorlesungen über die im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Entfernung wirkende Kräfte» (изд. доктора F. Grube’a, Лейпциг, 1876); Dr. E. Heine, «Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendungen» (2 т., Б., 1878, 1881).