ЭСБЕ/Ультраэллиптические интегралы и функции

Ультраэллиптические интегралы и функции. — Квадратуры вида: $\int F(x,\sqrt{X})dx$, где $X$ есть целый полином степени выше четвертой относительно $x$, a $F$ — какая-либо рациональная функция от $x$ и $\sqrt{X}$ называются У. или гиперэллиптическими интегралами.

Теорией У. интегралов занимались Абель, Якоби, Гёпель, Розенгайн, Эрмит, Вейерштрассе, Прим, Нейман, Клебш и Гордан, Г. Вебер, Томэ, Брио, Кенигсбергер и др.; у нас, в России, К. А. Поссе, П. М. Покровский, М. А. Тихомандрицкий и др.

Если $X$ есть полином 5-й или 6-й степени, то интегралы называются У. первого класса. С помощью подстановки:

$x=\frac{a+by}{c+fy}$

Те У. интегралы первого класса, которые могут быть приведены к виду:

Если интеграл 1-го класса приводится к виду

$\int \frac{x^2(\alpha +\beta x)}{\sqrt{R}}dx$ $\int \frac{dx}{(x-a)\sqrt{R}}$

Начало теории ультраэллиптических интегралов было положено в 30-х годах прошлого XIX стол. знаменитою теоремою Абеля о сложении интегралов алгебраических функций. Из этой теоремы между прочим следует, что если имеем систему уравнений

$N{x}^2+Mx+L=0,$

Якоби показал, что $L$, $M$ и $N$ суть однозначные функции с четырьмя системами периодов, т. е. что они остаются без изменения, если одновременно заменим $u_1$ и $u_2$ через

$u_1+n_1{A}_1+n_2{B}_1+n_3{C}_1+n_4{D}_1$ $u_2+n_1{A}_2+n_2{B}_2+n_3{C}_2+n_4{D}_2$,

Требовалось определить те функции от $u_1$ и $u_2$, которые выражали бы $x_1$ и $x_2$ и соответствующие им значения $\sqrt{R(x_1)}$ и $\sqrt{R(x_2)}$, удовлетворяющие уравнениям (2).

Эта задача была решена почти одновременно Гёпелем и Розенгайном, которые показали, что для решения ее надо ввести особые функции от двух переменных, названный функциями $\mathrm{\Theta }$ (тета) от двух аргументов; начало теории таких функций положил Риман.

Функция $\mathrm{\Theta }$ от двух аргументов $u_1$ и $u_2$ выражается двойным бесконечным рядом.

$\mathrm{\Theta }\left[\begin{array}{c}{g}_1{g}_2\\ h_1{h}_2\end{array}\right]=\sum _{n_1{n}_2}{e}^{z+\mathrm{\Phi }}$ $z=2(n_1+\frac{g_1}{2})(u_1+\frac{h_1}{2}\pi i)+2(n_2+\frac{g_2}{2})(u_2+\frac{h_2}{2}\pi i)$ $\mathrm{\Phi }={(n_1+\frac{g_1}{2})}^2{\tau }_{11}+2(n_1+\frac{g_1}{2})(n_2+\frac{g_2}{2}){\tau }_{12}+{(n_2+\frac{g_2}{2})}^2{\tau }_{22}$

Совокупность постоянных $g_1$, $g_2$, $h_1$, $h_2$ называется характеристикою функций $\mathrm{\Theta }$. При исследовании свойств этих функций оказывается, что существует только 16 различных функций $\mathrm{\Theta }$, а именно соответствующих характеристикам: $\left[\begin{array}{c}00\\ 00\end{array}\right];\left[\begin{array}{c}01\\ 00\end{array}\right];\left[\begin{array}{c}10\\ 00\end{array}\right];\left[\begin{array}{c}11\\ 00\end{array}\right]$ . . . . и т. д., при которых $g_1$, $g_2$, $h_1$, $h_2$ суть либо нули, либо единицы.

Функция $\mathrm{\Theta }$ с характеристикой $\left[\begin{array}{c}00\\ 00\end{array}\right]$ обозначается просто через $\mathrm{\Theta }(u_1,u_2)$.

По изучении свойств этих функций $\mathrm{\Theta }$ оказалось, что $x_1$ и $x_2$, а также $\sqrt{R(x_1)}$ и $\sqrt{R(x_2)}$ выражаются рационально в функциях $\mathrm{\Theta }$ от двух аргументов $u_1$ и $u_2$.

Для знакомства с теориею ультраэллиптических интегралов и функций $\mathrm{\Theta }$ от двух аргументов нужно обратиться к статьям и сочинениям вышеупомянутых ученых. Шаблон:ЭСБЕ/Автор2