ЭСБЕ/Радикал, в математике

Радикал. — Один из корней двучленного уравнения $x^n=a$ называется радикалом и обозначается $\sqrt[n]{a}$. Здесь а называется подкоренным числом, n — показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р. подразумевается число положительное. Алгебраическое выражение, содержащее Р., может подвергаться преобразованиям при помощи формул:

$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$, $\sqrt[n]{a}:\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a:b}$, ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$, $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a}$, $\sqrt[np]{a^{mp}}=\sqrt[n]{a^m}$.

Если данное выражение имеет вид дроби, знаменатель которой содержит Р., то, помножая числитель и знаменатель на выражение, надлежащим образом подобранное, можно удалить все Р. из знаменателя. При помощи средств начальной алгебры можно выполнить это преобразование только в простейших случаях. В высшей алгебре подкоренное число a предполагается комплексным (см. [[../Мнимые величины|Мнимые величины]]) и представляется под видом

$a=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, где r > 0.

Для n значений Р. получается выражение

$\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\phi +2k\pi }{n}+i\sin \frac{\phi +2k\pi }{n})$,

Шаблон:Noindentгде k = 0, 1, 2, …, n—1. В правой части $\sqrt[n]{r}$ положительное число, n-ая степень которого равна r. При помощи Р. можно выразить корни каких угодно уравнений второй, третьей и четвертой степени. Решать же уравнения высших степеней при помощи Р. возможно только в исключительных случаях, как это выяснилось благодаря исследованиям Абеля и Галуа. В соч. Д. Селиванова «Об уравнениях пятой степени с целыми коэффициентами» (СПб. 1889) приведены примеры уравнений, нерешаемых алгебраически. Оказывается, что напр. уравнение $x^5-x-v=0$ не решается в Р., если v не делится на 15. Если в алгебраическом решении уравнения все показатели Р. равны двум, то корни можно построить при помощи циркуля и линейки. На этом основании Гаусс в своем сочинении «Disquisitiones arithmeticae» (в «Gauss Werke», т. I) указал, какие правильные многоугольники можно вписать в круг при помощи циркуля и линейки. К числу таких многоугольников принадлежит семнадцатиугольник.