ЭСБЕ/Потенциальная функция

Потенциальная функция и потенциал. — В статьях [[../Гамильтонов принцип|Гамильтоново начало (VIII, 66)]], [[../Механика|Механика (XIX, 218)]] и в некоторых других упоминалось о силах, имеющих потенциал или потенциальную функцию. Под силой, приложенной к материальной точке и имеющей потенциальную или силовую функцию, подразумевается такая сила, проекции которой X, Y, Z на оси координат выражаются производными от некоторой функции U (от координат x, y, z точки) по соответственным координатам, т. е.

$X=\frac{dU}{dx}$, $Y=\frac{dU}{dy}$, $Z=\frac{dU}{dz}$. $\pm \int f(r)dr$, $ϵ\frac{mM}{r}$; $\frac{dV}{dx}$, $\frac{dV}{dy}$, $\frac{dV}{dz}$ ${\mathrm{\Delta }}_{2}V=\frac{d^{2}V}{d{x}^2}+\frac{d^{2}V}{d{y}^2}+\frac{d^{2}V}{d{z}^2}=0$ $M=\frac{4}{3}\pi \sigma R^3$ $2\pi ϵ\sigma (R^2-\frac{1}{3}{r}^2)$ $ϵ\frac{4}{3}\pi \sigma \frac{r^3}{r^2}$,

Поверхность уровня. Если равнодействующая сил, приложенных к материальной точке,имеет П. функцию V₁, то все пространство, в котором может находиться точка, можно представить себе заполненными системой бесконечного множества поверхностей, на каждой из которых V имеет одну и ту же величину. Такие поверхности называются поверхностями уровня, каждая из них имеет свой параметр, а именно ту численную величину, которую имеет V в точках этой поверхности. Сила, действующая на точку, направлена всегда по нормали к той поверхности уровня, на которой находится точка, и направлена в ту сторону, где находятся поверхности уровня с параметрами большими параметра, свойственного этой поверхности. Величина силы равняется положительно взятому корню из суммы квадратов производных от V по х, у, z; эта величина:

$+\sqrt{{\left(\frac{dV}{dx}\right)}^2+{\left(\frac{dV}{dy}\right)}^2+{\left(\frac{dV}{dz}\right)}^2}$

Учение о потенциале играет весьма большую роль в теории электрических и магнитных явлений. Электрические явления вообще происходят так, как если бы существовали два особых вещества, или флюида, действующих друг на друга по закону Кулона, т. е. с силой, пропорциональной произведению взаимодействующих количеств и обратно пропорциональной квадрату их расстояния. Эти флюиды для краткости называют положительными и отрицательным электричествами. Они находятся на поверхности наэлектризованных тел, а явление электрического тока может быть рассматриваемо как течение этих электричеств в проволоках, причем течение положительного электричества в одном направлении и течение отрицательного электричества в противоположном направлении могут быть рассматриваемы как явления между собой тождественные. Единица количества электричества есть такое количество, которое на равное ему, находящееся на единице расстояния от него, действует с силой, равной единице силы. C. G. S. — единица количества электричества — получается, когда расстояние 1 стм и сила 1 дина. Кулон = 3.10⁹ C. G. S. единиц электричества. Если мы имеем наэлектризованные тела, то потенциал V в любой точке M пространства равен работе, которую производят электрические силы при переходе единицы электричества из M по произвольному пути в бсзконечность, или на весьма большое расстояние. В различных точках пространства V — различное. Если количество η электричества переходит из точки M в другую точку N, то работа ρ электрических сил равна ρ = η(V₁ ‒ V₂), где v₁ и V₂ потенциалы в точках M и N. Так как работа ρ может быть только положительная, если η перемещается (течет) под влиянием электричееких сил, то ясно, что положительное электричество (η > 0) течет всегда от мест большего к местам меньшего потенциала (V₁ > V₂). Аналогично этому и теплота течет всегда от мест большей (более высокой) темп. к местам меньшей (более низкой) темп.; потенциал же аналогичен темп. (см. ниже). Другая аналогия: жидкости текут под влиянием силы тяжести от мест большей высоты к местам меньшей высоты. Внутри проводника электрическая сила должна везде равняться нулю, без чего невозможно равновесие электричества и внутри проводника появляются новые количества электричества (произойдет, как прежде говорили, разложение нейтральной смеси обоих электричеств). Если сила есть нуль, то и работа ρ, произведенная при мысленном перемещении η из M в N, тоже нуль (M и N произвольные точки внутри проводника). Отсюда следует, что V₁ = V₂; но ввиду произвольности положения точек M и N это равенство показывает, что все точки наэлектризованного проводника находятся при одном и том же потенциале V. Эта величина называется потенциалом самого проводника. Если соединить (длинной тонкой проволокой) два наэлектризованных тела (проводника), то + η потечет от тела, имеющего больший потенциал, к телу, имеющему меньший потенциал. Тела находятся при одинаковом потенциале, если при их соединении не происходит между ними обмена электричества. П. тела аналогичен, таким образом, температуре тела, т. е. степени нагретости. Потенциал есть мера степени электризации тела: для равновесия электричества на нескольких соединенных между собой проводниках необходимо, чтобы они все находились при одном потенциале. Единица потенциала (или разности потенциалов) равна разности V₁‒V₂ потенциалов двух точек M и N, когда при переносе η=1 из M в N совершается работа ρ = 1, или она равна потенциалу шара, радиус которого R = 1, если на его поверхности находится η=1. В C. G. S. системе V₁‒V₂=1, когда при переносе η=1 C. G. S. совершается. работа ρ=1 эргу или когда η=1 С. G. S. находится на шаре, для которого R=1 стм. Другая единица потенциала или разности потенциалов, употребляемая на практике, называется «вольт»; вольт = Шаблон:Дробь C. G. S. единицы потенциала, только что определенной. Емкость q тела определяется количеством электричества, увеличивающим потенциал тела на единицу. Заряд η, потенциал V и емкость q связаны равенством η = qV; С. G. S. единицей емкости обладает шар, для которого R = 1 стм Фарада = 9.10¹¹ C. G. S. единиц емкости. Энергия E заряженного проводника выражается одной из формул $E=\frac{1}{2}\eta V=\frac{{\eta }^2}{2q}=\frac{1}{2}q{V}^2$. Если η, V и q выражены в C. G. S. единицах, то Е получается в эргах, если же η и q в кулонах, вольтах и фарадах, то Е в джоулях (10⁷ эргах = 0,102 кг-метр. = 0,24 мал. калории). Если два проводника А и В первого класса (металлы, уголь и т. д., не подвергающиеся электролизу) соприкасаются, то между ними устанавливается разность потенциалов V₁‒V₂, не зависящая ни от формы тел, ни от поверхности S соприкосновения, а только от рода веществ A и B и от их физического состояния, например от их температуры. Причина скачка V₁‒V₂ потенциала при переходе через S называется электродвижущей (эл. двиг.) силой е; она измеряется разностью V₁‒V₂, т. е. принимает e = V₁‒V₂. Следовательно, единицей электродвижущей силы можно принять вольт. Если символически изобразить е через е = A|B, то закон Вольта говорит, что A|B + B|C = A|C, где C третье тело. Для замкнутого ряда проводников первого класса, например металлов, получаем A|B + B|C + C|D + … N|M + M|A = 0, т. е. сумма скачков потенциала или сумма эл. дв. сил равна нулю. Проводники второго класса (растворы солей и кислот, вообще электролиты) не следуют закону Вольты. Если S раствор, то A|S + S|B ≠ A|B; для комбинации A, S, B, A (например, медь — кислота — цинк — медь) имеет A|S + S|B + B|A ≠ 0. Такая комбинация есть разомкнутый элемент или разомкнутая цепь; сумма действуюших в ней эл. дв. сил (сумма скачков потенциала) не равна нулю; эта сумма называется эл. дв. силой E элемента. Она равна разности потенциалов на концах (электродах) разомкнутой цепи. В замкнутой цепи статическое состояние невозможно, если E не нуль. Должно установиться непрерывное течение электричества, одинаковое во всех частях цепи. Но + η может течь только от больших потенциалов к меньшим, а потому потенциал должен во всех частях уменьшаться или падать вдоль цепи по направлению течения + η. Если мысленно обойти всю цепь, то сумма встречающихся изменений потенциала должна равняться нулю; следоват., сумма всех падений равна сумме скачков, или сумма падений равна E. Если J — сила тока, r сопротивление произвольного, но однородного отрезка цепи, и если V₁ ‒ V₂ падение потенциала в этом отрезке, то

$J=\frac{V_1-V_2}{r}$.