ЭСБЕ/Неопределенные выражения

Неопределенные выражения. — Под этим именем в математике известны такие выражения, как $\frac{0}{0}$; $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ и проч., которые могут быть приравнены какой угодно величине. Например, можно утверждать, что $\frac{0}{0}=5$, и что $\frac{0}{0}=2$, и что $\frac{0}{0}=10$, потому что эти равенства равносильны равенствам 5∙0=0; 2∙0=0; 10∙0=0, которые, в свою очередь, верны, так как всякая конечная величина при умножении на нуль дает нуль. Если же функция какого-нибудь переменного x обращается при каком-либо значении этого переменного в Н. выражение, то, благодаря непрерывности изменения переменного и функции, неопределенность может оказаться только кажущейся и можно найти вполне определенный предел, к которому стремится функция при приближении переменного к упомянутому его значению. Например, выражение $\frac{x^2-a^2}{x-a}$, если положить в нем x=a, обращается в $\frac{a^2-a^2}{a-a}$, т. е. в $\frac{0}{0}$; предел же, к которому стремится выражение $\frac{x^2-a^2}{x-a}=x+a$, т. е. 2a (при x=a). В дифференциальном исчислении (см.) даются общие приемы для нахождения пределов неопределенных выражений. Например, для нахождения предела выражения вида $\frac{0}{0}$ нужно взять производную числителя и разделить ее на производную знаменателя; подставив затем в полученную величину то самое значение переменного, которое обращало данную функцию в $\frac{0}{0}$, получим искомый предел. Например, предел выражения $\frac{\sin x}{x}$ при x=0, равен результату подстановки x=0 в $\frac{\frac{d\sin x}{dx}}{\frac{dx}{dx}}=\cos x$; подставляя x=0 в cosx, получим 1, что и есть искомый предел.