ЭСБЕ/Интерполирование

Интерполирование в математике — один из важнейших способов приближенного вычисления. Задача И. заключается в том, чтобы по данным величинам некоторой функции для известных значений переменных независимых (аргументов) найти величину функции для произвольного (обыкновенно промежуточного) значения этих переменных независимых. Этой задачей занимались Валлис, Ньютон, Эйлер и другие математики. Найти формулу И. значит заменить искомую функцию более простой, обыкновенно многочленом, причем коэффициенты и степени этого многочлена подбираются так, чтобы значение его для данного значения переменных независимых совпадало с заданными значениями искомой функции. Формулы И. представляют выражения, в которых искомая функция представляется при помощи данных величин функции и их последовательных разностей. В нижеследующей таблице в первом столбце стоят последовательные аргументы (значения независимой переменной), во втором — соответствующие величины функции, а в следующих — последовательные разности, так что b‴ = а″ − а‴, b″ = а′ − а″ … с″ = b″ − b‴…

Шаблон:Trh Аргум. || Функц. || 1-ые
разн. || 2-ые
разн. || 3-ьи
разн. || 4-ые
разн. Шаблон:TrccT−3h
T−2h
T−Шаблон:Nh
T
T+Шаблон:Nh
T+2h
T+3h
Шаблон:Razr

a‴ a″ a′ a0 a1 a2 a3 Шаблон:Razr

b‴ b″ b′ b1 b2 b3 Шаблон:Razr

c″ c′ c0 c1 c2 Шаблон:Razr

d″ d′ d1 d2 Шаблон:Razr

e′ e0 e1 Шаблон:Razr

Для вычисления величины функции а для аргумента Т + nh, где n < 1, можно употребить одну из следующих формул И.:

Формула Ньютона. $a=a_0+\{\frac{b^{\prime }+b_1}{2}-\frac{1}{6}\cdot \frac{d^{\prime }+d_1}{2}+\dots \}n+\{\frac{c_0}{2}-\frac{e_0}{24}+\dots \}{n}^2+\{\frac{1}{6}\cdot \frac{d^{\prime }+d_1}{2}-\dots \}{n}^3+\dots$ Формула Бесселя. $a=a_0+n{b}_1+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{c_0+c_1}{2}+\frac{n(n-1)(n-\frac{1}{2})}{1\cdot 2\cdot 3}{d}_1+\frac{(n+1)\cdot n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\cdot \frac{e_0+e_1}{2}+\dots$ Формула Стирлинга. $a=a_0+\frac{b^{\prime }+b_1}{2}n+c_0\cdot \frac{n^2}{1\cdot 2}+\frac{d^{\prime }+d_1}{2}\cdot \frac{(n-1)\cdot n\cdot (n+1)}{1\cdot 2\cdot 3}+e_0\frac{(n-1)\cdot n^2(n+1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\dots$

Числовой пример. Даны склонения Луны для отдельных моментов, следующих через 12 часов, и требуется найти склонение Луны для 2 янв. в 15 час. среднего времени.

Шаблон:Trc || || || a || || b || || c || || d || || eШаблон:Trr Янв. 1

2

3

4

0h 12Шаблон:Indent 0Шаблон:Indent 12Шаблон:Indent 0Шаблон:Indent 12Шаблон:Indent 0Шаблон:Indent

+ + + + + + +

7°Шаблон:Indent5′Шаблон:Indent7,″1 8Шаблон:Indent59Шаблон:Indent56,Шаблон:Indent6 10Шаблон:Indent49Шаблон:Indent55,Шаблон:Indent5 12Шаблон:Indent34Шаблон:Indent1,Шаблон:Indent0 14Шаблон:Indent11Шаблон:Indent5,Шаблон:Indent9 15Шаблон:Indent39Шаблон:Indent58,Шаблон:Indent3 16Шаблон:Indent59Шаблон:Indent21,Шаблон:Indent3

+ + + + + +

1°54′49,″5 1Шаблон:Indent49Шаблон:Indent58,Шаблон:Indent9 1Шаблон:Indent44Шаблон:Indent5,Шаблон:Indent5 1Шаблон:Indent37Шаблон:Indent4,Шаблон:Indent9 1Шаблон:Indent28Шаблон:Indent52,Шаблон:Indent4 1Шаблон:Indent19Шаблон:Indent23,Шаблон:Indent0

− − − − −

4′50,″6 5Шаблон:Indent53,Шаблон:Indent4 7Шаблон:Indent0,Шаблон:Indent6 8Шаблон:Indent12,Шаблон:Indent5 9Шаблон:Indent29,Шаблон:Indent4

− − − −

1′Шаблон:Indent2,″8 1Шаблон:Indent7,Шаблон:Indent2 1Шаблон:Indent11,Шаблон:Indent9 1Шаблон:Indent16,Шаблон:Indent9

− − −

4,″4 4,Шаблон:Indent9 5,Шаблон:Indent0

Для 15 ч. 2-го января n = ¼, и потому, употребив одну из вышеприведенных формул И., получится а = 12°58′59,4″.

Простейший случай И. встречается при подыскивании логарифмов чисел, которые в таблицах даются лишь для известных последовательных значений аргумента. В этом случае аргументы настолько сближены, что действительное значение имеют только первые разности; прочие разности равны нулю, и потому все вышеприведенные формулы обращаются в a = a₀ + nb, т. е. И. сводится к решению простой пропорции.

При помощи И. производится и нахождение аргумента для данного промежуточного значения функции, т. е. решается и обратная задача. В этом случае одну из формул И. нужно решить относительно неизвестной n. Так как коэффициенты у различных степеней n весьма быстро уменьшаются, то вычисление производится последовательными приближениями, причем для первого приближения принимается $n=\frac{a-a_0}{b}$. При вычислении по таблицам чисел по данному логарифму это первое приближение есть уже окончательное решение.

Если аргументы не представляют арифметической прогрессии и величины функции даны для нескольких произвольных значений аргументов x₁, x₂…x_n, то величина функции для всякого другого значения аргумента x вычисляется по формуле Лагранжа:

$F(x)=U_1\cdot \frac{(x-x_2)(x-x_3)\dots (x-x_n)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)\dots (x_1-x_n)}+U_2\cdot \frac{(x-x_1)(x-x_3)\dots (x-x_n)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)\dots (x_2-x_n)}+\dots$ $+U_n\cdot \frac{(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_{n-1})}{(x_n-x_1)(x_n-x_2)\dots (x_n-x_{n-1})}+\dots ,$

Шаблон:Noindentгде $U_1=F(x_1),U_2=F(x_2)\dots U_n=F(x_n).$

Употребление этой формулы встречается при И. наблюдений.

Геометрическое значение И. заключается в проведении параболы высших степеней через ряд данных точек на плоскости. Чем число данных точек больше, тем проведенная через них парабола ближе к неизвестной кривой. Если положение точек определено лишь с известной степенью приближения (напр. из наблюдений), то от интерполяционной кривой требуется иногда не то, чтобы она прошла через все данные точки, а чтобы она заняла некоторое среднее положение, по возможности меньше уклоняясь в ту или другую сторону от этих точек.

Для функций от двух и более аргументов формулы И. значительно сложнее. Когда приходится пользоваться таблицами с двумя входами, то на практике прибегают к двум последовательным И. сперва по одному, а затем по другому аргументу.

В практических приложениях определение значения функции для аргумента, лежащего не между данными, а вне их, известно под названием экстраполирования и совершается по правилам И. с той лишь разницей, что некоторые разности приходится вычислять, считая число их ограниченным. Числовые результаты экстраполирования всегда менее благонадежны, чем результаты И. Литература см. Исчисление конечных разностей.