ЭСБЕ/Изменение переменной независимой

Изменение переменной независимой. — Под этим названием известна одна из основных задач дифференциального и интегрального исчислений. И. переменой независимой делается обыкновенно с целью привести дифференциальное уравнение, не поддающееся непосредственному интегрированию, к другому, которое представлялось бы одним из классов, удобных для интегрирования. Чтобы разъяснить, в чем состоит И. переменной независимой заметим, что величины первых дифференциалов не зависят от того, которую из переменных считают за независимую. Первый дифференциал функции $f(x)$ всегда выражается формулой $df(x)=f^{\prime }(x)\cdot dx,$ причем, если желательно ввести новую независимую переменную t так, что прежняя независимая переменная x будет некоторой новой функцией от t, φ (t), то вместо x придется подставить φ(t), а вместо dx величину $d\varphi (t)={\varphi }^{\prime }(t)\cdot dt.$ Не останавливаясь на этом случае, рассмотрим И. переменной независимой для дифференциалов высших порядков. Пусть дана функция $\mathrm{\Pi }(x,y,y^{\prime },y^{″}\dots y^{(n)}).$ Требуется ввести вместо независимой переменной x, ее функции у и всех производных, входящих в выражение $\mathrm{\Pi },$ новую независимую переменную ξ, ее новую функцию η и производные от этой функции η по ξ, которые означим через ${\eta }^{\prime },{\eta }^{″}\dots {\eta }^{(n)},$ так что будет $\mathrm{\Pi }(x,y,y^{\prime }\dots y^{(n)})=\mathrm{\Phi }(\xi ,\eta ,{\eta }^{\prime }\dots {\eta }^{(n)}).$ Здесь всегда предполагается, что задана такая связь между старыми переменными x и у, с одной стороны, и новыми ξ и η, с другой, что возможно выразить функцию $\mathrm{\Pi }$ в виде некоторой функции $\mathrm{\Phi }$ от новых переменных. И так задача И. переменной независимой состоит в том, чтобы данное дифференциальное уравнение $\mathrm{\Pi }(x,y,y^{\prime }\dots y^{(n)})=0$ привести соответствующим выбором новых переменных к виду $\mathrm{\Phi }(\xi ,\eta ,{\eta }^{\prime }\dots {\eta }^{(n)})=0,$ которое было бы удобнее трактовать. — Такое же значение имеет И. переменной независимой в случае, когда независимых переменных много, например в случае дифференциальных уравнений с частными производными. Для примера рассмотрим уравнение колебания струны:

$\frac{d^{2}u}{d{y}^2}-a^2\frac{d^{2}u}{d{x}^2}=0.$

Изменим независимые переменные так, чтобы искомая функция и осталась прежняя и введем только новые независимые переменные ξ и η при помощи уравнений

$\xi =x+ay$ $\eta =x-ay$

Отсюда будет

$\frac{d^{2}u}{d{y}^2}-a^2\frac{d^{2}u}{d{x}^2}=\frac{d^{2}u}{d\eta d\eta }$

Шаблон:Noindentи, следовательно, заданное дифференциальное уравнение обратится в более простое

$\frac{d^{2}u}{d\xi d\eta }=0,$

Шаблон:Noindentкоторое интегрируется непосредственно. Общее его решение будет $u=\mathrm{\Pi }(\xi )+\mathrm{\Phi }(\eta )$ (см. [[../Интегрирование дифференциальных уравнений|Интегрирование уравнений]]). — Об изменении переменной независимой под знаком неопределенного интеграла см. [[../Интегральное исчисление|Интегральное исчисление]].