ЭСБЕ/Дифференциальные уравнения

Шаблон:ЭСБЕДифференциальные уравнения (мат.). — Д. называются такие уравнения, которые дают зависимость между независимыми переменными, их функциями и производными этих функций по их независимым переменным. Например, пусть будет x независимая переменная, а y ее функция; тогда уравнение

$x+2y+\frac{dx}{dy}=0$

будет Д. дифференциальное.

Д. уравнения разделяются на две больших категории: обыкновенные и с частными производными. Обыкновенными называются уравнения, в которые входят функции от одного независимого переменного и их производные по этому переменному. Уравнения с частными производными заключают функции от нескольких переменных и их частные производные по этим независимым переменным. Написанное выше Д. уравнение относится к числу обыкновенных, примером же уравнения с частными производными будет

$\frac{d^{2}u}{dx\cdot dy}-u+2x+\frac{du}{dx}=0.$

Здесь x и y независимые переменные, а u их некоторая функция.

Д. уравнения различаются по порядкам. Порядком Д. уравнения называется высший из порядков производных, входящих в уравнение. Приведенный пример обыкновенного уравнения дает уравнение первого порядка, уравнение же с частными производными написано второго порядка. Интегрировать одно или несколько Д. уравнений значит найти все функции одного или нескольких независимых переменных (судя по тому, какие уравнения заданы), которые, будучи подставлены в Д. уравнение вместо обозначенных в нем функций, обращали бы его в тождество. Подробнее в ст. [[../Интегральное исчисление|Интегральное исчисление]].