ЭСБЕ/Декартовы овалы

Черт. 1.

Декартовы овалы — кривые четвертого порядка, состоящие из двух замкнутых частей, имеющих общую ось симметрии и три фокуса на этой оси, один внешний $F_2$ и два $F_1$ и $F$, находящихся внутри внутреннего овала.

Если означить через $c_2$ расстояние между $F$ и $F_1$, через $c$ — расстояние между $F_1$ и $F_2$, через $c_1$ — расстояние между $F$ и $F_2$, через Шаблон:Опечатка расстояния какой-либо точки до фокусов $F,F_1,F_2$, то уравнения овалов могут быть выражены трояким образом: 1) внутреннего: $mr+l{r}_1=n{c}_2$, внешнего $mr-l{r}_1=n{c}_2$, или 2) внутреннего $nr+l{r}_2=m{c}_1$, внешнего $nr-l{r}_2=m{c}_1$, или 3) внутреннего $m{r}_2-n{r}_1=lc$, внешнего $n{r}_1-m{r}_2=lc$, здесь $m,n,l$ суть три отвлеченные количества, свойственные каждой паре овалов.

Кривые эти обладают следующим свойством: отношение синусов углов, составляемых радиусами-векторами, проведенными из фокусов к точке кривой, с нормалью имеет постоянную величину для всей кривой; напр. для наружного овала:

$\frac{\sin (F_{2}Mn)}{\sin (F_{1}Mn)}=\frac{n}{m}$;

поэтому если наружный овал будет меридиональным сечением поверхности вращения, ограничивающей снаружи прозрачное вещество с показателем преломления $\frac{n}{m}$, а со стороны $X$ на поверхность будет падать пучок лучей, направляющихся к точке $F_2$, то эти лучи по преломлении соберутся внутри вещества в точке $F_1$. Декарт, открывший эти кривые, задался именно этим свойством их, имея в виду строить оптические стекла, ограниченные этими овалами. Полная литература, относящаяся к Декартовым овалам, собрана проф. Лигиным и помещена в «Bulletin des sciences mathem. et astronom.», 2-е Série t. VI, 1882.