ЭСБЕ/Гессиан

Гессиан. — Функциональным определителем n функций: f₁, f₂, f₃, … f_n от n независимых переменных x₁, x₂, x₃ … x_n называется определитель вида:

$\left|\begin{array}{cccc}\frac{d{f}_1}{d{x}_1},& \frac{d{f}_1}{d{x}_2},& \dots & \frac{d{f}_1}{d{x}_n}\\ \frac{d{f}_2}{d{x}_1},& \frac{d{f}_2}{d{x}_2},& \dots & \frac{d{f}_2}{d{x}_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{d{f}_n}{d{x}_1},& \frac{d{f}_n}{d{x}_2},& \dots & \frac{d{f}_n}{d{x}_n}\end{array}\right|$

Если теперь под функциями f₁, f₂, … f_n мы будем разуметь частные произведения некоторой функции U от n независимых переменных x₁, x₂, … x_n, так что

$f_1=\frac{dU}{d{x}_1},f_2=\frac{dU}{d{x}_2},f_3=\frac{dU}{d{x}_3},\dots f_n=\frac{dU}{d{x}_n},$

Такого рода определитель ввел в рассмотрение проф. Гессе в теории алгебраических линий на плоскости и алгебраических поверхностей, причем он доказал две весьма примечательные теоремы. 1) Если уравнение U = 0 в однородных координатах (см. [[../Координаты, в математике|Координаты]]) определяет некоторую кривую n-ого порядка, где, очевидно, U есть однородная функция n-ой степени относительно трех координат х₁, х₂, х₃, то условие необходимое и достаточное, чтобы эта кривая была системой n прямых линий, выходящих из одной и той же точки, состоит в том, чтобы гессиан функции U, взятый относительно координат х₁, х₂, х₃, тождественно равнялся нулю. 2) Если уравнение U = 0 в однородных координатах определяет некоторую алгебраическую поверхность в пространстве, где, очевидно, U есть однородная функция некоторой n-ой степени относительно четырех координат х₁, х₂, х₃, x₄, то условие, необходимое и достаточное для того, чтобы эта поверхность была конусом, состоит с тождественном уничтожении гессиана функции U относительно сказанных координат х₁, х₂, х₃, x₄.