ЭСБЕ/Гармонические движения

Шаблон:ЭСБЕ Гармонические движения простые и составные. Представим себе, что по кругу радиуса а (на черт. 1 изображен круг, имеющий центр в О) движется точка N с постоянной скоростью в сторону, указанную стрелкой, причем полный оборот по окружности она совершает в течение времени Т. Проекция M точки N на направление прямой X₁OX будет тогда совершать вдоль по ней, вверх и вниз, колебательное движение, называемое простым гармоническим движением и выражаемое следующим уравнением:

если считать время от того момента, когда точка N была в C, а положительные расстояния x по прямой X₁OX считать по направлению OX.

Чертеж 1. Чертеж 2.

Если же считать время от какого-либо другого момента, то это же движение выразится уравнением:

где ε есть фаза, или эпоха, гармонического колебания, а — амплитуда и Т — период, или продолжительность, двойного качания точки М.

На черт. 2 движение, выражаемое уравнением (I), изображено графически. От точки А по прямой At откладываются длины, пропорциональные временам t; так, длина АР изображает время Т, а длина Ар — время, в течение которого движущаяся по кругу точка перешла из С в N на черт. 1. Затем от каждой точки, такой как р, откладывают ординату рК, равную соответственному расстоянию ОМ. Построенная кривая будет синусоида; на черт. 2 изображена только часть ее, соответствующая одному полному периоду и представляющая одну волну кривой.

Два или несколько прямолинейных гармонических движений по одной и той же прямой, около того же центра, того же периода, но различных амплитуд и разных фаз, соединяются в одно простое гармоническое движение того же периода. Если а₁, а₂, а₃,… суть амплитуды составляющих гармонических движений, а ε₁, ε₂, ε₃,… — их фазы, то квадрат амплитуды составного простого гармонического движения будет равен:

${\alpha }^2+{\beta }^2,$

а тангенс фазы этого движения равен отношению β к α, где α и β суть следующие суммы:

$\alpha =a_1\cos {ϵ}_1+a_2\cos {ϵ}_2+\dots$

$\beta =a_1\sin {ϵ}_1+a_2\sin {ϵ}_2+\dots$

Из соединения нескольких простых Г. движений различного периода по одной и той же прямой получаются сложные прямолинейные гармонические движения, а из соединения двух простых Г. движений, совершающихся по двум взаимно перпендикулярным или наклонным одна к другой прямым, получаются криволинейные Г. движения. На черт. 3 графически представлено сложное прямолинейное Г. движение, выражаемое уравнением:

$x=\sin \omega t+\sin 2\omega t,$

а на черт. 4 — другое сложное Г. движение, выражаемое уравнением:

$x=\sin 2\omega t+\sin (3\omega t+\frac{3\pi }{8}),$

где ω = 2π:T.

При соединении двух простых Г. движений различных соизмеримых периодов движущаяся точка описывает кривые линии, называемые кривыми Лиссажу. Полную теорию Г. движений можно найти в «Treatise on natural philosophy by Thomson and Tait» (Vol. I. Part I, kinematics).

Гармоническое отношение (см. [[../Ангармоническое отношение точек|т. 1 стр. 722]]). Понятие о Г. отношении введено древними геометрами. Папп в своей книге «Математический сборник» говорит, что три числа находятся в Г. отношении, если отношение первого к третьему равно отношению разности первого без второго и третьего; такое отношение названо Г. потому, что оно встречалось в теории музыки древних.

Две точки a и а₁ делят длину bc в Г. отношении, если длины ас, аа₁ и ab находятся в Г. отношении, т. е.:

$\frac{ac}{ab}\mathrm{=}\frac{ac-a{a}_1}{a{a}_1-ab},$

или

Шаблон:NumBlk или

$\frac{ab}{ac}\mathrm{:}\frac{a_{1}b}{a_{1}c}\mathrm{=}\mathrm{-}\mathrm{1}.$

Гармоническому отношению между тремя длинами ас, аа₁, ab можно придать еще следующий вид:

$\frac{2}{a{a}_1}\mathrm{=}\frac{1}{ab}\mathrm{+}\frac{1}{ac},$

что нетрудно получить из (III). Г. отношение играет важную роль в высшей геометрии; см. Chasles «Traité de géometrie supérieure».

Гармонические сферические функции. Под именем spherical harmonie functions английские физико-математики подразумевают однородные функции V от х, y, z, удовлетворяющие дифференциальному уравнению:

$\frac{d^{2}V}{d{x}^2}\mathrm{+}\frac{d^{2}V}{d{y}^2}\mathrm{+}\frac{d^{2}V}{d{z}^2}\mathrm{=}\mathrm{0}.$

См. [[../Сферические функции|Сферические функции]].

Гармонические движения отдельной частицы происходят под влиянием силы, направленной к положению равновесия частицы и изменяющейся прямо пропорционально расстоянию ее от него. Подобного рода силы возникают при растяжении, сжатии, сгибании упругих тел, при отклонении гибкой натянутой струны из ее положения равновесия и во многих подобных случаях. Поэтому гармоническое движение встречается в природе очень часто: все звуковые колебания, каковы колебания камертонов, струн и т. п. представляют гармоническое движение. Качания маятника при малых размахах, сравнительно с длиной его, происходят по тем же законам. Вследствие пропорциональности движущей силы расстояниям тела от положения равновесия гармоническое движение обладает замечательным свойством — изохронностью колебаний, т. е. продолжительность периода движения одинакова и при больших и при малых амплитудах колебания. По этой причине одно и то же звучащее тело (камертон, струна и т. п.) издают всегда тон одной и той же высоты, хотя и различной силы (тихий или громкий) в зависимости от силы удара. Продолжительность периода гармонического колебания (Т) зависит исключительно от ускорения (k) на расстоянии единицы длины (1 см) от положения равновесия движущихся частиц, именно

$\mathrm{T}\mathrm{=}\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{:}\sqrt{\mathrm{k}}.$

Ускорение же движения пропорционально двигающей силе и обратно пропорционально двигаемой массе. Этим и пользуются на практике: при настройке музыкальных инструментов изменяют натяжение струн; для изменения скорости хода карманных часов изменяют длину пружинки маятника и т. д.