ЭСБЕ/Вариационное исчисление

Вариационное исчисление. История происхождения В. исчисления следующая: в конце XVII и начале XVIII ст. многие знаменитые геометры, как, напр., Ньютон, Иоанн и Яков Бернулли, Лейбниц, Маклорен и др., обратили внимание на особый род математических вопросов, в которых требовалось определить вид кривой линии или поверхности при условии, чтобы некоторая величина, зависящая от вида кривой или поверхности, была наибольшая или наименьшая. Впервые встречается подобный вопрос в книге Ньютона: «Philosophiae naturalis principia mathematica», а именно вопрос о форме поверхности тела вращения, испытывающего наименьшее сопротивление движению со стороны окружающей его среды. Другой вопрос того же рода — вопрос о виде [[../Брахистохрона|брахистохроны]], предложенный Иоанном Бернулли (брахистохроной для какой-либо силы называют кривую, по которой материальная точка, подверженная этой силе, переходит в наивозможно краткое время из одной данной точки в другую). По мере накопления подобных вопросов выяснилась необходимость изыскать общий метод для их решения. Такой метод создан Эйлером («Methodus inveniendi lineas curvas maximi vel minimi proprietate gaudentes…» 1744) после 16-летних изысканий над решениями разнообразных вопросов этого рода, и усовершенствован Лагранжем (см. «Théorie des Fonctions analytiques» и «Leçons sur le Calcul des Fonctions»). Метод этот есть метод вариаций и назван Лагранжем вариационным исчислением (Calcul des variations).

Простейшие вопросы В. исчисления заключаются в следующем: требуется найти такую функцию от $x,$ которая, будучи подставлена вместо $y$ в данную функцию $F$ от $x,y,\frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{d{x}^2},\dots ,$дала бы интегралу

$S=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}F(x,y,y^{\prime },y^{″},\dots )dx$

Шаблон:Noindentнаибольшую или наименьшую величину, при предположении, что $x_1$ и $x_2,$ а также и соответствующие им $y_1$ и $y_2$ имеют данные постоянные значения. Например, требуется найти кратчайшую кривую на плоскости между двумя данными точками. В этом случае интеграл, который должен получить наименьшее значение, будет

Шаблон:Noindentгде $x_1$ и $x_2$ суть абциссы данных точек.

Другой пример: требуется провести такую кривую $y=f\left(x\right)$ между двумя точками $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ на плоскости, чтобы поверхность, образуемая этою кривою при вращении плоскости вокруг оси X-ов, была наименьшею. В этом случае интеграл, долженствующий получить наименьшее значение, будет:

Метод решения подобных вопросов мы вкратце здесь изложим, главным образом для того, чтобы объяснить смысл слов: вариация и вариирование. Предположим, что искомая функция $f\left(x\right)$ найдена и что проведена кривая линия $y=f\left(x\right),$ делающая интеграл $S$ наибольшим или наименьшим. В функции $f\left(x\right),$ кроме $x$ заключается один или несколько параметров, в качестве коэффициентов, оснований степеней, показателей и проч. Изменяя непрерывным образом величины этих параметров, мы получим другие кривые, отличающиеся видом и положением от искомой нами. При изменении параметров на бесконечно малые величины получим кривые, бесконечно близкие к рассматриваемой. Под вариацией от $y$ подразумевается разность между ординатою бесконечно близкой кривой и ординатою рассматриваемой кривой при той же абциссе. Следовательно, вариация ординаты $y$ есть приращение (положительное или отрицательное), получаемое этою ординатою при переходе от рассматриваемой кривой к кривой бесконечно близкой; это приращение обозначается через $\delta y.$ Выше было сказано, что бесконечно близкая кривая получается через бесконсчно малое изменение параметров. Пусть параметры $f\left(x\right)$ суть $\alpha ,\beta ,\gamma ;$ бесконечно малые приращения их означим через $\delta \alpha ,\delta \beta ,\delta \gamma .$ Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго и высших порядков, можем выразить $\delta y$ так:

$\delta y=\frac{df\left(x\right)}{d\alpha }\delta \alpha +\frac{df\left(x\right)}{d\beta }\delta \beta +\frac{df\left(x\right)}{d\gamma }\delta \gamma .$

Следовательно, варьирование ординаты $y,$ или $f\left(x\right)$ может быть рассматриваемо как дифференцирование по параметрам кривой.

При варьировании $f\left(x\right)$ производные $y^{\prime },y^{″},\dots$ от функции по $x$ также получают бесконечно малые приращения, которые мы обозначим так: $\delta y^{\prime },\delta y^{″},\dots$ Эти вариации производных можно представить так, например, $\delta y^{\prime }:$

$\delta y^{\prime }=\frac{ddy}{d\alpha dx}\delta \alpha +\frac{ddy}{d\beta dx}\delta \beta +\frac{ddy}{d\gamma dx}\delta \gamma ,$

Шаблон:Noindentа так как изменения параметров совершенно не зависят от изменений абцисс $x,$ то можно переменить порядок действий получения производных по $x$ и по параметрам; самые приращения $\delta \alpha ,\delta \beta ,\delta \gamma$ от $x$ не зависят, а потому:

Точно так же можно показать, что:

Шаблон:Noindentи т. д.

При варьировании $y$ функция $F(x,y,y^{\prime },y^{″},\dots )$ получает приращение, равное:

$\mathrm{\Delta }F=F(x,y+\delta y,y^{\prime }+\delta y^{\prime },y^{″}+\delta y^{″},\dots )-F(x,y,y^{\prime },y^{″},\dots ).$

Это приращение может быть представлено в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням вариаций $\delta y,\delta y^{\prime },\delta y^{″}.$ Вариацией первого порядка функции $F$ называется та часть этого приращения, которая заключает сумму членов с первыми степенями вариаций $\delta y,\delta y^{\prime },\delta y^{″},\dots$ Эта вариация первого порядка от $F/,$ обозначается также знаком $\delta ,$ так что

$\delta F=\frac{dF}{dy}\delta y+\frac{dF}{d{y}^{\prime }}\delta y^{\prime }+\frac{dF}{d{y}^{″}}\delta y^{″}+\dots$

Удвоенную сумму тех членов приращения $F,$ которые заключают вторые степени и произведения вариаций $\delta y,\delta y^{\prime },\delta y^{″},\dots$ по две, называют вариацией второго порядка от функции $F$ и обозначают ее так: ${\delta }^{2}F.$

Если составить выражение приращения, получаемого интегралом $\left(S\right),$при варьировании ординаты $y,$ то найдем, что оно равняется интегралу от $\mathrm{\Delta }F$ и поэтому может быть представлено в виде суммы членов различного порядка малости. Сумма членов первого порядка малости образует вариацию первого порядка интеграла $S:$

$\delta S=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\delta Fdx,$

Удвоенная сумма членов второго порядка малости образует вариацию второго порядка:

${\delta }^{2}S=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}{\delta }^{2}Fdx.$

Составленное выражение $\delta S$ может быть преобразовано таким образом, что оно будет заключать только $\delta y,$ но не будет заключать вариаций от производных. На основании равенства (А), (А₁) и прочих дальнейших равенств того же рода, каждая из этих вариаций равняется соответственной производной по $x$ от $\delta y.$ Вследствие этого, помощью интегрирований по частям и приняв во внимание, что $\delta y_1=0$ и $\delta y_2=0$ (так как $y_1$ и $y_2$ имеют данные постоянные значения), получим:

$\delta S=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\left(F\right)\delta ydx,$ $\left(F\right)=\frac{dF}{dy}-\frac{d}{dx}\left(\frac{dF}{d{y}^{\prime }}\right)+\frac{d^2}{d{x}^2}\left(\frac{dF}{d{y}^{″}}\right).$

Для того, чтобы интеграл $S$ был наибольшим или наименьшим, необходимо, чтобы $\delta S$ была равна нулю, какою бы функцией от $x$ ни была $\delta y;$ а это вследствие разнообразия и произвольности вариаций $\delta y$ возможно только тогда, когда $\left(F\right)=0.$ Этому-то дифференциальному уравнению и должна удовлетворять функция $y=f\left(x\right),$ делающая $S$ наибольшим или наименьшим.

Так, например, функция, делающая интеграл (1) наибольшим или наименьшим, должна удовлетворять дифференциальному уравнению:

$-\frac{d}{dx}\left(\frac{y^{\prime }}{\sqrt{1+y^2}}\right)=0,$

Шаблон:Noindentиз которого следует, что $y^{\prime }=C$ и $y=Cx+C_1,$ где $C$ и $C_1$ — постоянные. Как и следовало ожидать, искомая линия — прямая.

Кривая, делающая интеграл (2) наибольшим или наименьшим, окажется цепною линией.

С надлежащими изменениями и дополнениями метод этот применяется и к тем случаям, когда не задаются точки, между которыми должна быть проведена кривая, а также и к тем случаям, когда ищется кривая, делающая интеграл S наибольшим или наименьшим, и вместе с тем делающая другой интеграл равным данной величине; последние вопросы принадлежат к роду вопросов об относительных maxima и minima. Затем этот метод распространяется и на вопросы более высшего рода, в которых требуется определение вида поверхностей, делающих наибольшим или наименьшим двойной интеграл данного вида и далее. В числе геометров, усовершенствовавших метод варьирования в применении к нахождению maxima и minima кратных интегралов, были: Гаусс («Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii», «Gesammelte Werke» Bd. V); Пуассон (в «Mémoires de l’Académie des Sciences», vol. 12, 1833) — в применении к двойным интегралам; Остроградский («Mémoire sur le calcul des variations des integrales multiples», в «Mem. de l’Acad. des Sciences de S-Pétersb.» 1838; «Crelle’s Journal», vol. XV), давший изящное выражение вариации многократного интеграла; Якоби («Zur Theorie der Variations-rechnung und der Differentialgleichungen», в «Gesam. Werke», т. IV), положивший основание метода определения знака вариации второго порядка однократного интеграла. Достаточно полным руководством вариац. исчисления может служить: «Calcul des Variations р. Moigno et Lindelöf» (1861, четвертый том «Leçons de Calcul differentiel et integral p. Moigno»). История вариац. исчисления, начиная с Лагранжа и до 1860 г., изложена в книге Todhunter: «A History of the Progress of the Calculus of Variations during the nineteenth Century», 1861. О применении В. исчисления к механике см. статьи: [[../Движение|Дифференциальные уравнения движения]], [[../Действие, в механике|Действие (начало наименьшего действия)]], [[../Гамильтонов принцип|Начало Гамильтона]].