ЭСБЕ/Бесселевы функции

Бесселевы функции или Шаблон:Razr, или Шаблон:Razr — выражения, введенные в анализ и в особенности в небесную механику немецким астрономом [[../Бессель, Фридрих Вильгельм|Бесселем]] и потому носящие его имя. Во Франции еще раньше Бесселя подобные функции рассматривал [[../Фурье, Жан Батист Жозеф|Фурье]] в теории теплоты, и потому их называют также иногда еще функциями Фурье-Бесселя. Б. ф. можно ввести в рассмотрение весьма различным образом, смотря по той цели, к которой они применяются. Можно исходить из некоторых разложений в ряд тригонометрический, или по степеням независимой переменной, или из дифференциального уравнения второго порядка, которому удовлетворяют эти функции. Обозначая функции 0-го, 1-го, 2-го... порядка, как это общепринято, буквами $J_0(x),J_1(x),J_2(x),\dots$ имеем, например:

$\cos (x\sin \varphi )=J_0(x)+2J_2(x)\cos 2\varphi +2J_4(x)\cos 4\varphi +\dots$ $\sin (x\sin \varphi )=2J_1(x)\sin \varphi +2J_3(x)\sin 3\varphi +\dots$ $e^{\frac{1}{2}x(z-\frac{1}{z})}=J_0(x)+J_2(x)(z^2+\frac{1}{z^2})+J_4(x)(z^4+\frac{1}{z^4})+\dots$ $+J_1(x)(z-\frac{1}{z})+J_3(x)(z^3-\frac{1}{z^3})+\dots ,$ $\frac{d^2{J}_n(x)}{d{x}^2}+\frac{1}{x}\frac{d{J}_n(x)}{dx}+(1-\frac{n^2}{x^2})J_n(x)=0.$

Между тремя последовательными Б-ми функциями существует простое соотношение:

$x{J}_{n+1}(x)-2n{J}_n(x)+x{J}_{n-1}(x)=0,$ $p=\frac{1}{\frac{2n}{x}-\frac{1}{\frac{2n+2}{x}-\frac{1}{\frac{2n+4}{x}-\dots }}}.$

Для этого стоит только положить $J_n=p_n{J}_{n-1},$ откуда будет вообще $J_n=p_1{p}_2\dots p_n{J}_0,$ а это непосредственно приводит к написанной непрерывной дроби. Б.-вы функции могут также быть представлены и притом несколькими способами в виде определенного интеграла, а именно:

$J_n(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (n\varphi -x\sin \varphi )d\varphi ,$ $J_n(x)=\frac{x^n}{2^n\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (x\cos \varphi ){\sin }^{2n}\varphi d\varphi .$

Разложенная в ряд Б-ва функция n-го порядка есть:

$J_n(x)=\frac{x^n}{2^n\mathrm{\Gamma }(n+1)}[1-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2\frac{1}{1\cdot (n+1)}+{\left(\frac{x}{2}\right)}^4\frac{1}{1\cdot 2\cdot (n+1)(n+2)}-$$-{\left(\frac{x}{2}\right)}^6\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot (n+1)(n+2)(n+3)}+\dots ].$

Определение Б.-вой функции посредством определенного интеграла или ряда может быть распространено и на случай нецелого значения показателя n с условием в последнем случае $n+1>0.$ Так, напр., из интеграла получается:

$J_{\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}\sin x}.$

Употребление функций Бесселя в анализе, в теории теплоты и в небесной механике основано на том, что многие разложения в ряд могут быть сделаны с удобством посредством именно этих функций. Так, напр., имеем:

$\cos x=J_0(x)-2J_2(x)+2J_4(x)-\dots$ $\sin x=2J_1(x)-2J_3(x)+2J_5(x)-\dots$ $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{J}_0(x)+J_2(x)+J_4(x)+\dots$ $\frac{1}{2}x=J_1(x)+3J_3(x)+5J_5(x)+\dots$ $\frac{1}{2}{x}^2=2^2{J}_2(x)+4^2{J}_4(x)+\dots$ $\frac{1}{2}{x}^3=3(3^2-1)J_3(x)+5(5^2-1)J_5(x)+\dots$

Такие разложения в ряд играют важную роль в теории возмущений планетных движений. Эти же функции интегрируют в анализе известное дифференциальное уравнение Риккати. Заметим в заключение, что функции Бесселя можно рассмативать как частный случай функций Лежандра, или шаровых функций, или сферических гармоник, т. е. функций, удовлетворяющих уравнению:

$(1-x^2)\frac{d^2{P}_m}{d{x}^2}-2x\frac{d{P}_m}{dx}+m(m+1)P_m=0.$ $\xi =m\sqrt{1-x^2},\eta ={(1-x^2)}^{\frac{1}{2}n}\frac{d^{n}Pm}{d{x}^n}$

Литература. Работы самого Бесселя о функциях, носящих его имя, помещены в собрании его сочинений, изд. Энгельмана т. I. Затем специально Б.-м функциям посвящены труды: Неймана (Neumann), «Theorie der Bessel’schen Functionen»; Ломмеля (Lommel), «Studienüber die Bessel’schen Functionen». Весьма полное исследование этих функций можно найти в трактате Гейне (Heine) «Handbuch der Kugelfunctionen» (2-е изд.) и в более элементарном учебнике Тодгентера (Todhunter), «An elementary Treatise on the functions of Laplace, Laméand Bessel». Таблицы численных значений Б.-вых функций для практических приложений их находятся в работе Бесселя, в статье Гансена об определении абсолютных возмущений и подробнее других в специальных таблицах Мейсселя (Meissel).