ЭСБЕ/Арифметически-геометрическая средняя

Арифметически-геометрическая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и g < a. Составим их арифметическую среднюю ${\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}$ и геометрическую среднюю ${\mathrm{g}}_{\mathrm{1}},$ т. е. найдем ${\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{(}\mathrm{a}\mathrm{+}\mathrm{g}\mathrm{)}$ и ${\mathrm{g}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{g}}.$ Таким же образом составим ${\mathrm{a}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{(}{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathrm{g}}_{\mathrm{1}}\mathrm{)}$ и ${\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\sqrt{{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{g}}_{\mathrm{1}}}$ и т. д. Числа $\mathrm{a},{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{a}}_{\mathrm{2}}\mathrm{:}$ и $\mathrm{g},{\mathrm{g}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{g}}_{\mathrm{2}}\mathrm{:}$ будут представлять убывающий ряд, вторые возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-геометрическая средняя. Означим ее AG. Напр. а = 2 g = 1. Последовательно находим

a1 = 1.5000000	g1 = 1.4132136
а2 = 1.3737734	g2 = 1.3731462
а3 = 1.3734598	g3 = 1.3734596
а4 = 1.3734597	g4 = 1.3734597

Итак, AG(2, 1) = 1.3734597

А.-геометрическая средняя играет роль в вычислении эллиптических интегралов. А именно, Гадес показал, что

$\frac{2K}{\pi }\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{:}\mathrm{A}\mathrm{G}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{k},\mathrm{1}\mathrm{-}\mathrm{k}\mathrm{)}.$

Он же вычислил таблицу AG между единицей и синусами углов от 0 до 90° через полуградус (Гаусс, «Werke», Bd. III).