ЭСБЕ/Арифметически-гармоническая средняя

Арифметически-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h < a. Составим их арифметическую среднюю ${\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}$ и гармоническую среднюю ${\mathrm{h}}_{\mathrm{1}},$ т. е. найдем ${\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{(}\mathrm{a}\mathrm{+}\mathrm{h}\mathrm{)}$ и ${\mathrm{h}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\frac{2ah}{a+h};$ таким же образом составим ${\mathrm{a}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{1}{2}\mathrm{(}{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}\mathrm{+}{\mathrm{h}}_{\mathrm{1}}\mathrm{)}$ и ${\mathrm{h}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{2a_1{h}_1}{a_1+h_1}$ и т. д. Числа $\mathrm{a},{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{a}}_{\mathrm{2}}\mathrm{:}$ и $\mathrm{h},{\mathrm{h}}_{\mathrm{1}},{\mathrm{h}}_{\mathrm{2}}\mathrm{:}$ будут представлять — первые убывающий ряд, вторые — возрастающий. Все числа первого ряда больше всех чисел второго, и оба ряда стремятся к одному и тому же пределу, который и есть А.-г. средняя. Означим ее АН. Покажем, что АН. двух чисел равно геометрической средней их. В самом деле, ${\mathrm{h}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\frac{2ah}{a+h}\mathrm{=}\frac{ah}{a_1},$ след. ${\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{h}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{a}\mathrm{h};$ точно так же ${\mathrm{a}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{h}}_{\mathrm{2}}\mathrm{=}{\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{h}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{a}\mathrm{h},$ что треб. док., наконец, ${\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}{\mathrm{h}}^{\mathrm{n}}\mathrm{=}\mathrm{h}.$ Но ${\mathrm{a}}_{\mathrm{\infty }}\mathrm{=}{\mathrm{h}}_{\mathrm{\infty }}\mathrm{=}{\mathrm{b}}_{\mathrm{2}},$ если b есть АН между а и h; итак, $\mathrm{b}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{h}},$ ч. треб. док. Следствие: AH из какого-нибудь числа и единицы есть квадратный корень из этого числа, т. е. $\mathrm{A}\mathrm{H}\mathrm{(}\mathrm{a},\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{=}\sqrt{\mathrm{a}}.$ Итак, чтобы найти $\sqrt{\mathrm{a}},$ можно поступить следующим образом: найти арифметическую среднюю ${\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}$ из а и 1 и гармоническую среднюю ${\mathrm{h}}_{\mathrm{1}}$ из а и 1; затем арифметическую среднюю ${\mathrm{a}}_{\mathrm{2}}$ из ${\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}$ и ${\mathrm{h}}_{\mathrm{1}}$ и гармоническую среднюю ${\mathrm{h}}_{\mathrm{2}}$ из ${\mathrm{a}}_{\mathrm{1}}$ и ${\mathrm{h}}_{\mathrm{1}}$ и т. д., числа ${\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}$ и ${\mathrm{h}}_{\mathrm{i}}$ будут быстро сходиться и стремиться к пределу = $\sqrt{\mathrm{a}}$. Прим. а = 2, h = 1

а1 = 1.5000000	h1 = 1.3333333
а2 = 1.4166666	h2 = 1.4117647
а3 = 1.4142157	h3 = 1.4142114
а4 = 1.4142136	h4 = 1.4142136,

итак, $\sqrt{2}$ = 1.4142186, ч. треб. док.