ЭСБЕ/Ангармоническое отношение точек

Ангармоническое отношение четырех точек $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ по одной прямой есть частное отношений расстояний двух из них от двух других, напр. $\frac{CA}{CB}\mathrm{:}\frac{DA}{DB};$ короче оно пишется $\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{)},$ или $\frac{DA}{DB}\mathrm{:}\frac{BA}{BC}\mathrm{=}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{B}\mathrm{)}.$ Таких выражений можно составить 6. Главное значение А. отношения в теории подобия фигур происходит вследствие следующего свойства его: если пучок четырех прямых пересечен двумя трансверсалями, то А. отношение каждого ряда точек пересечения трансверсалей с лучами пучка постоянно. Это отношение называется поэтому А. отношением пучка. Если $\mathrm{O}$ — вершина пучка, то А. отношение его означается $\mathrm{(}\mathrm{O}\mathrm{.}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{)}.$ Оно составляется из отношения синусов углов, заключенных между прямыми, а именно $\mathrm{(}\mathrm{O}\mathrm{.}\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}\mathrm{)}\mathrm{=}$

$\frac{\sin COA}{\sin COB}\mathrm{:}\frac{\sin DOA}{\sin DOB}.$

Теоремы относительно А. отношения: А. отношение пучка, проходящего через четыре точки окружности круга, вершина которого лежит на той же окружности, постоянно. А. отношение ряда точек пересечения четырех постоянных касательных круга с произвольною пятою касательною — постоянно и равно А. отношению четырех точек касания относительно произвольной точки окружности и др.

Аналитически А. отношение пучка прямых ${\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{k}{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}}$, ${\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{l}{\mathrm{x}}_{\mathrm{3}}$, ${\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{m}{\mathrm{x}}_{\mathrm{3}}$, ${\mathrm{x}}_{\mathrm{1}}\mathrm{=}\mathrm{n}{\mathrm{x}}_{\mathrm{3}}$ есть

$\frac{k-l}{n-l}\mathrm{:}\frac{k-m}{n-m}$

Если А. отношение $=-1$, то оно приобретает название гармонического (см. это сл.). Вместо А. отношения его называют также двойным отношением (Шаблон:Lang). Ср. Шарль, «Traité de géométrie supérieure».