ЭСБЕ/Амплитуда, в математике и механике

Амплитуда — в теории эллиптических функций есть верхний предел у интеграла $\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{1}\mathrm{-}{\mathrm{k}}^{\mathrm{2}}{\sin }^{\mathrm{2}}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{x}}}.$ Эта функция означается amx, и вместо sin amx, cos amx пишут snx, cnx, а вместо $\sqrt{\mathrm{1}\mathrm{-}{\mathrm{k}}^{\mathrm{2}}{\sin }^{\mathrm{2}}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{x}}$ пишут Δamx, или dnx.

Так как $\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{x}\mathrm{=}\underset{\mathrm{0}}{\overset{\mathrm{x}}{\int }}\mathrm{d}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{d}\mathrm{u}$ то, зная разложение dnu в ряд, можно из него вывести и разложение amx в ряд. Получается

$\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{x}\mathrm{=}\mathrm{z}\mathrm{+}\frac{2q}{1+q^2}\sin \mathrm{2}\mathrm{z}\mathrm{+}\frac{1}{2}\frac{2q^2}{1+q^4}\sin \mathrm{4}\mathrm{z}\mathrm{+}\frac{1}{3}\frac{2q^3}{1+q^6}\sin \mathrm{6}\mathrm{z}\mathrm{+}\mathrm{\dots },$ где $\mathrm{x}\mathrm{=}\frac{2k}{\alpha }$

Шаблон:Razr — в механике амплитудой называется расстояние, пройденное брошенным телом.