О стационарном движении электричества на проводящих поверхностях произвольного вида (Умов)

В июне 1875 г. мною была представлена проф. Кирхгофу работа, носящая заглавие настоящей статьи. Результаты этой работы помещены были проф. Кирхгофом в Monatsberichte der Konigl. Akademie der Wissenschaften zu Berlin за 1875 г. под заглавием: «Uber die stationaren elektrischen Stromungen in einer gekrummten leitenden Flache». Доказательство же этих результатов дано было проф. Кирхгофом отличное от моего; метод, им употреблённый, сходен с тем, который мы находим в его же статье: «Uber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene etc.» (Pogg. Ann., LXIV).

Я считаю нелишним привести здесь мне принадлежащее доказательство найденных мною результатов. Представим себе поверхность произвольного вида или изогнутую пластинку бесконечно малой, но равномерной толщины из однородного вещества, проводящего электричество. На этой поверхности проведём двойную сеть её линий кривизны. Параметры линий кривизны каждой системы означим через $\rho$ и ${\rho }_1$. Положение точки на поверхности будем определять пересекающимися в ней линиями кривизны $\rho$ и ${\rho }_1$ Элементы этих линий будем означать соответственно через $ds$ и $d{s}_1$ Мы имеем: Шаблон:Eqc где ${\theta }_1$ и $\theta$ суть некоторые функции переменных $\rho$ и ${\rho }_1$. Предположим, что на поверхности установилось стационарное движение электричества. Тогда через периферию каждого элемента поверхности столько же втекает электричества, сколько и вытекает. Выразим аналитически это условие стационарности электрического движения для бесконечно малого четырёхугольника, который образован пересечением четырёх линий кривизны $\rho$, $\rho +d\rho$ и ${\rho }_1$, ${\rho }_1+d{\rho }_1$. Означим стороны четырёхугольника, лежащие на линиях кривизны $\rho$ и $\rho +d\rho$, через $ds$ и $d{s}^{\prime }$ на линиях кривизны ${\rho }_1$ и ${\rho }_1+d{\rho }_1$ — через $d{s}_1$ и $ds{\text{'}}_1$. Назовём через $\kappa /$ электропроводность пластинки и через $\delta$ — её толщину. Электродвижущая сила, действующая в точке элемента $ds$ в направлении, к нему перпендикулярному, есть Шаблон:Eqc где $V$ означает потенциал свободного электричества, находящегося на нашей кривой пластинке. Количество электричества, втекающего в продолжение элемента времени $dt$ в наш четырёхугольник через сторону его $ds$, будет: Шаблон:Eqc Через противоположную сторону $d{s}^{\prime }$ вытекает в то же самое время количество электричества, равное Шаблон:Eqc Подобным же образом через элемент $d{s}_1$ втекает количество электричества за тот же промежуток времени: Шаблон:Eqc и вытекает через противоположную сторону $ds{\text{'}}_1$: Шаблон:Eqc Избыток вытекающего электричества над втекающим в случае стационарного движения электричества должен быть равен нулю; следовательно, Шаблон:Eqc Внося в это уравнение величины $ds$ и $d{s}_1$ из выражений (1), сокращая произведение $d\rho$ · $d{\rho }_1$, находим: Шаблон:Eqc Это есть дифференциальное уравнение с частными производными, которому должен удовлетворять потенциал свободного электричества на изогнутой пластинке в случае стационарного движения электричества. Общий интеграл уравнений такого вида был дан мною в статье: «Законы колебаний в неограниченной среде постоянной упругости» (Математический сборник, т. V, стр. 24).

Так как нам нужен этот общий интеграл для последующего, то я найду его здесь, тем более, что в упомянутой мною статье о нем было сказано слишком кратко. Означим через $\xi$ и $\eta$ интегралы дифференциальных уравнений:

$\theta d\rho +{\theta }_{1}d{\rho }_1\sqrt{-1}=0$

и

$\theta d\rho -{\theta }_{1}d{\rho }_1\sqrt{-1}=0$

тогда, называя через $\psi$, ${\psi }_1$ интегрирующце множители этих уравнений, имеем: Шаблон:Eqc Легко доказать, что Шаблон:Eqc будет общим интегралом дифференциального уравнения с частными производными (8). В самом деле, условия интегрируемости уравнений (10) будут: Шаблон:Eqc

Достаточно доказать, что $f(\xi )$ будет интегралом нашего уравнения (8); тем же способом докажется, что и $F(\eta )$ есть интеграл того же уравнения. Полагая Шаблон:Eqc мы находим: Шаблон:Eqc Отсюда Шаблон:Eqc Но первое из выражений даёт нам Шаблон:Eqc Складывая выражения (15), обращая внимание на соотношение (16), мы находим, что сумма их тождественно равна нулю, чем и доказывается наше предложение.

Перейдём теперь к преобразованию уравнения с частными производными (8), которое даст нам возможность свести вопрос о распределении стационарных электрических токов на поверхностях произвольного вида к вопросу о распределении токов на некоторой плоской пластинке. Общий вид интегрирующих множителей $\psi$ и ${\psi }_1$ в выражениях (1) будет: Шаблон:Eqc где $a$ и $b$ суть некоторые функции переменных $\rho$ и ${\rho }_1$ Внося выражения (17) в выражения (10), находим: Шаблон:Eqc

Так как эти выражения суть полные дифференциалы, то действительные и мнимые их части суть тоже полные дифференциалы. Вводя две новые переменные $x$ и $y$, мы можем, следовательно, написать: Шаблон:Eqc и Шаблон:Eqc Интегралы этих последних уравнений будут: Шаблон:Eqc Следовательно, общий интеграл (11) уравнения с частными производными (8) будет: Шаблон:Eqc

Такое выражение общего интеграла уравнения (8) показывает нам, что это уравнение в переменных $x$ и $y$, связанных с переменными $\rho$ и ${\rho }_1$ дифференциальными уравнениями (19), принимает вид: Шаблон:Eqc

Этому же уравнению должен удовлетворять, в случае стационарного движения электричества, потенциал на плоской пластинке, совпадающей с плоскостью $xy$.

Итак, решение вопроса о распределении электрических токов на поверхности произвольного вида приводится к решению вопроса о распределении электрических токов на некоторой плоской пластинке. Посмотрим теперь, в каком отношении находится эта пластинка к нашей поверхности.

Во-первых, очевидно, что каждой точке поверхности будет соответствовать по меньшей мере одна точка пластинки.

Решая уравнения (19) относительно $d\rho$ и $d{\rho }_1$, мы находим: Шаблон:Eqc Линиям кривизны $\rho$ и ${\rho }_1$ поверхности будут соответствовать на нашей пластинке кривые линии, секущие друг друга под прямым углом и дифференциальные уравнения коих будут: Шаблон:Eqc

Следовательно, каждому прямоугольнику на нашей поверхности будет соответствовать прямоугольник на нашей пластинке. Двум элементам $ds$ и $d{s}_1$ линий кривизны поверхности будут соответствовать два элемента $d\sigma$ и $d{\sigma }_1$ линий (25), которые мы найдём, полагая в выражениях (19) или $d\rho =0$ или $d{\rho }_1=0$. Именно: Шаблон:Eqc откуда заключаем, что Шаблон:Eqc

Следовательно, пластинка наша представляет собою изображение поверхности на плоскости, подобное изображаемой поверхности в мельчайших частях. Заметим, что задача о такого рода изображении поверхности произвольного вида на плоскости была разрешена Гауссом (Gauss, Werke, Bd. IV, S. 193).

Одесса.

21 марта 1877 г.