О некоторых вопросах теории плоских кривых (Кремона)/1

Шаблон:§ Пусть заданы два проективных пучка прямых кривых. Кривые первого пучка имеют в базовой точке $o$ общую касательную, и эта точка лежит на той кривой второго пучка, которая соответствует той кривой первого пучка, для которой точка $o$ является двойной. В этом случае, как было отмечено в Introd. 51b, место пересечений соответствующих кривых двух пучков проходит через точку $o$ два раза. Попытаемся теперь определить две касательные к этому месту в двойной точке.

Шаблон:§ Лемма. Пусть $(U,V,W,\dots )$ и $(U^{\prime },V^{\prime },W^{\prime },\dots )$ — соответствующие кривые двух проективных пучков одного и того же порядка $n$, которые порождают кривую $K$ порядка $2n$, проходящую через базовые точки двух пучков.

Кривые $U$ и $U^{\prime }$ задают новый пучок, базовые точки которого лежат на кривой $K$. В Introd. 54a было показано, как построить такой проективный ему пучок, чтобы пересечение соответствующих кривых порождало кривую $K$. Именно, кривая $U^{″}$ пучка $(U,U^{\prime })$ пересекает $K$ еще в $n^2$ точках, отличных от базовых; через эти точки и одну точку, фиксированную на $K$ произвольном образом, можно провести единственную кривую порядка $n$, которую и сопоставим $U^{″}$. Так построенные кривые и составляют искомый второй пучок, все базовые точки которого лежат на $K$. Если взять за фиксированную точку базовую точку пучка $(V,V^{\prime })$, то кривой $U$, пересекающей $K$ в $2n^2$ точках, из которых $n^2$ лежат на $U^{\prime }$, а другие $n^2$ на $V$, будет отвечать именно кривая $V$, а кривой $U$ — кривая $V^{\prime }$. Это означает, что второй пучок совпадает с $(V,V^{\prime })$. Отсюда следует, что любая кривая $U^{″}$ пучка $(U,U^{\prime })$ пересекает $K$ еще в $n^2$ точках, лежащих на кривой $V^{″}$ пучка $(V,V^{\prime })$ и что пучки $(U,U^{\prime },U^{″},\dots )$ и $(V,V^{\prime },V^{″},\dots )$ проективны и что кривая, порождаемая ими, — это опять $K$.

Аналогично, вторые $n^2$ пересечений $U^{″}$ с $K$ лежат на кривой $W^{″}$ пучка $(W,W^{\prime })$. Этим способом мы получаем новый пучок $(U^{″},V^{″},W^{″},\dots )$, проективный заданным пучкам $(U,V,W,\dots )$ и $(U^{\prime },V^{\prime },W^{\prime },\dots )$, базовые точки которого лежат на $K$. Поскольку кривые $U^{″}$, $V^{″}$, $W^{″}$, … принадлежат соответственно пучкам $(U,U^{\prime })$, $(V,V^{\prime })$, $(W,W^{\prime })$, … базовые точки которых лежат на $K$, пучок $(U^{″},V^{″},W^{″},\dots )$ вмести с любым из заданных пучков порождает опять кривую $K$. Итого:

Пусть заданы два проективных пучка $(U,V,W,\dots )$ и $(U^{\prime },V^{\prime },W^{\prime },\dots )$ кривых одного и того же порядка, которые порождают кривую $K$; если $U^{″}$ — кривая, выбранная произвольным образом в пучке $(U,U^{\prime })$, то можно определить такие кривые $V^{″},W^{″},\dots$, которые принадлежат соответственно пучкам $(V,V^{\prime }),(W,W^{\prime }),\dots$ и образуют с $U^{″}$ новый пучок, проективный заданным и порождающий вмести с любым из них опять кривую $K$.

Шаблон:§ Пусть теперь $(U,V,\dots )$ и $(U^{\prime },V^{\prime },\dots )$ — два проективных пучка произвольных порядков, порождающих кривую $K$. Если $L,L^{\prime }$ — две произвольные линии, то два проективных пучка $(U\cup L,V\cup L,\dots )$ и $(U^{\prime }\cup L^{\prime },V\cup L^{\prime },...)$, которые получаются путем добавления $L$ или $L^{\prime }$ к каждой кривой первого или второго пучка, порождают, очевидно, место, составленное из трех кривых — $K\cup L\cup L^{\prime }$. Порядки линий $L,L^{\prime }$ можно подобрать таким образом, чтобы два новых пучка оказались одного и того же порядка; тогда, в силу предыдущей теоремы, можно составить новый пучок $(𝒰,𝒱,\dots )$, проективный предыдущим, кривые которого принадлежат соответственно пучкам $(UL,U^{\prime }{L}^{\prime })$, $(V\cup L,V^{\prime }\cup L^{\prime })$, …, и при этом этот новый пучок вмести с пучком $(U^{\prime }{L}^{\prime },V^{\prime }{L}^{\prime },\dots )$ порождает место $K\cup L\cup L^{\prime }$. Однако же очевидно, что тогда два проективных пучка $(𝒰,𝒱,\dots )$ и $(U^{\prime },V^{\prime },\dots )$ порождают место $K\cup L$.

Шаблон:§ Предположим теперь, что все кривые пучка $(U,V)$ касаются одной и той же прямой $R$ в точке $o$, причем пусть $V$ — та кривая, для которой $o$ — двойная точка, а соответствующая ей кривая $V^{\prime }$ так же проходит через точку $o$. Тогда кривая $K$ имеет две дуги, пересекающиеся в точке $o$: каковы же касательные к $K$ в этой точке?

Выберем в качестве $L$ линию, не проходящую через точку $o$, а в качестве $L^{\prime }$ — линию, составленную из прямой $R$ и другой линии, не проходящей через точку $o$. В этом случае кривые пучка $(UL,U^{\prime }{L}^{\prime },\dots )$ имеют в точке $o$ одну и ту же касательную $R$: пусть $𝒰$ та кривая этого пучка, для которой точка $o$ — двойная. Эта точка является двойной и для двух составных кривых $VL,V^{\prime }{L}^{\prime }$; поэтому она является двойной для всех кривых пучка $(VL,V^{\prime }{L}^{\prime })$, среди которых имеется и $𝒱$. Далее, кривая $K$ (вмести с $L$) порождена двумя проективными пучками $(U^{\prime },V^{\prime },\dots )$ и $(𝒰,𝒱,\dots )$, причем во втором все кривые имеют двойную точку в $o$; отсюда в силу теоремы Introd. 51, примененной при $r=0$, $r^{\prime }=2$ и $s=s^{\prime }=1$, получается, что касательные к $K$ в $o$ являются касательными к кривой $𝒱$ второго пучка, соответствующей той кривой $V^{\prime }$ первого пучка, которая проходит через $o$. Поскольку $𝒱$ принадлежит пучку $(VL,V^{\prime }{L}^{\prime })$, две касательные к кривой $K$ в $o$ — это лучи, сопряженные в квадратичной инволюции, в которой касательные к $V$ сопряжены между собой, а касательная к $V^{\prime }$ сопряжена с $R$ (Introd. 48).