НЭС/Непрерывная дробь

Непрерывная дробь — так наз. выражение вида $a+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\dots }}$, где a, a₁, a₂, a₃… суть некоторые целые положительные числа, называемые неполными частными. Числа, которые получаются, если мы остановим Н. дробь на каком-нибудь неполном частном, называются подходящими дробями, напр.: для выше приведенной дроби первая подходящая есть a, вторая $a+\frac{1}{a_1}$, третья $a+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2}}$ и т. д. Мы вообще будем изображать подходящую дробь $a+\frac{1}{a_1+\dots +\frac{1}{a_{n-1}}}$ через $\frac{P_n}{Q_n}$, считая P_n и Q_n целыми числами. Они составляются по следующему закону:

$P_1=a$, $Q_1=1$; $P_2=a{a}_1+1$, $Q_2=a_1$

Шаблон:Noindentи вообще

$P_n=P_{n-1}{a}_{n-1}+P_{n-2}$; $Q_n=Q_{n-1}{a}_{n-1}+Q_{n-2}$.

Шаблон:NoindentН. дробь называется конечной или бесконечной, смотря по тому, будет ли число неполных частных конечно или бесконечно велико. Шаблон:Razr2. Всякое рациональное число разлагается (и только одним способом) в Шаблон:Razr2 Н. дробь указанного вида и обратно, всякая такая конечная Н. дробь есть рациональное число. Далее имеем

$P_n{Q}_{n-1}-Q_n{P}_{n-1}=(-1{)}^n$,

Шаблон:Noindentоткуда вытекает, что каждая подходящая дробь Шаблон:Razr2. Разность двух подходящих дробей $\frac{P_n}{Q_n}-\frac{P_{n-1}}{Q_{n-1}}$ есть $\frac{(-1{)}^n}{Q_n{Q}_{n-1}}$. При разложении какого-нибудь числа в Н. дробь это число всегда будет заключено между двумя последовательными подходящими, и каждая последующая из них будет ближе к этому числу, нежели предыдущая. Основное свойство Н. дробей: каждая подходящая ближе к разлагаемому числу, нежели любая дробь с меньшим знаменателем. Подходящие четного порядка все меньше, нежели разлагаемое число x и идут, постоянно возрастая; подходящие же нечетного порядка все больше, нежели x, и идут, постоянно убывая. Если, следовательно, x иррационально, и поэтому число неполных частных бесконечно велико, то подходящие дроби и четного и нечетного порядка стремятся к общему пределу, равному x. Если x есть корень квадратного уравнения с рациональными коэффициентами, то Н. дробь, получающаяся при разложении x, будет периодическая, т.-е., начиная с некоторого места, неполные частные будут повторяться и в одном и том же порядке. Обратно, всякая такая дробь есть корень квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. В высших отделах математики приходится иногда рассматривать и Н. дроби более сложного вида. Вообще Н. дроби являются одним из самых могущественных орудий анализа, как для решения теоретических вопросов, так и для практических вычислений.