НЭС/Неопределенные выражения

Неопределенные выражения — такие выражения, которые теряют смысл для разбираемых значений входящих в них букв. Напр., $\frac{a^2-x^2}{a-x}$ теряет смысл при x = a, принимая виды $\frac{0}{0}$, $\frac{logx}{ctgx}$ — при x = 0, обращаясь в $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$ при x = 0, принимая вид $1^{\mathrm{\infty }}$ и т. д. Нередко, однако, случается, что, хотя выражение функции теряет смысл для какого-нибудь значения x, напр., при x = a, но существует определенный конечный предел, к которому стремится функция, когда x стремится к a. Тогда этот предел и называют истинным значением Н. выражения. Нахождение его называется раскрытием Н. выражения или раскрытием данной неопределенности. Название неопределенных было дано этим выражениям потому, что выражения одного и того же типа, напр. $\frac{0}{0}$, могут иметь разные истинные значения, и, следовательно, нельзя наперед определить это истинное значение. Общие способы для раскрытия Н. выражений даются в дифференциальном исчислении. Напр., если при x = a имеем $f(x)=0$ и $\phi (x)=0$, то истинное значение отношения $\frac{f(x)}{\phi (x)}$ при x = a (тип $\frac{0}{0}$) есть $\frac{f^{\prime }(a)}{{\phi }^{\prime }(a)}$ (напр., равно 2a для выражения $\frac{x^2-a^2}{x-a}$), т.-е. равно отношению производных числителя и знаменателя. Если же это отношение само есть неопределенность того же типа, то нужно взять отношение следующих производных и т. д.