Квадратура круга (Перельман)/Глава 6

Десять задач

1. В старину при определении площади круглого участка землемеры часто поступали так: считали круг равновеликим квадрату, периметр которого равен длине окружности измеряемого участка. Какую относительную ошибку (в процентах) они при этом делали, если принять $\pi$ = 3,14? (Этот способ восходит к временам древнего Египта: он указан, наряду c другими, в папирусе Ринда. В средние века он был широко распространён также в Европе).

2. В древней египетской рукописи (в „папирусе Ринда“) находим следующее правило для определения площади круга: она равна площади квадрата, сторона которого составляет $\frac{8}{9}$ диаметра круга. Определите относительную ошибку такого расчёта в %%, принимая $\pi$ == 3,14.

3. У нас встарину употреблялся сходный с древнеегипетским (см. предыдущую задачу) приём вычисления площади круга, рекомендуемый старинными русскими руководствами по землемерному делу — площадь круга приравнивалась площади квадрата со сторонами, равными $\frac{7}{8}$ диаметра. Какой способ точнее — этот или древнеегипетский?

4. Валлис нашёл (1656 г.) для вычисления $\pi$ следующий ряд

$\frac{\pi }{2}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}$

и т.д.

Лейбниц вывел (1674) такое равенство:

$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+...$ и т.д.

Почему этими равенствами нельзя воспользоваться для точной квадратуры круга?

5. Индусский математик Брамагупта (VII век) предложил для $\pi$ следующее приближённое выражение:

$\pi =\sqrt{10}$

Как помощью этого выражения приближённо решить задачу о квадратуре круга?

6. Проверьте следующее приближённое равенство:

$\pi =\sqrt{2}+\sqrt{3}$

Как воспользоваться этим соотношением для приближённой квадратуры круга?

7. Проверьте; приближенное равенство

$\pi =1,8+\sqrt{1,8}$

Как воспользоваться им для приближенной квадратуры круга?

8. Проверьте следующее соотношение: периметр прямоугольного треугольника с катетами в $1\frac{1}{5}$ и $\frac{3}{5}$ диаметра круга, приближённо равен длине окружности этого круга.

Как помощью этого соотношения приближённо решить задачу о квадратуре круга?

9. Голландский инженер Петр Меций нашёл (в 1585 г.) для $\pi$ легко запоминаемое выражение $\frac{355}{113}$. Представив его в виде десятичной дроби, установите, сколько в ней верных цифр.

10. придумайте самостоятельно какое-нибудь правило, практически удобное для быстрого приближенного вычисления площади круга.