Интегрирование дифференциальных уравнений (Егоров)/0

Определение производной от данной функции составляет прямую задачу исчисления бесконечно-малых величин. Общий вопрос обратной задачи исчисления бесконечно малых состоит в том, чтобы определить одну или несколько функций одного или нескольких переменных из данных соотношений между независимыми переменными, функциями и их производными. Пусть имеется ряд независимых переменных:

$x_1,x_2,x_3,\dots x_n$

и ряд функций от этих переменных

$y_1,y_2,y_3,\dots y_m.$

Тогда соотношения, о которых идет речь, имеют вид

$F_i(x_1,\dots x_n,y_1,\dots y_m,\frac{\partial y_1}{\partial x_1},\dots \frac{\partial y_m}{\partial x_n},\frac{{\partial }^2{y}_1}{\partial x_1^2},\frac{{\partial }^2{y}_1}{\partial x_1\partial x_2},\dots \frac{{\partial }^p{y}_m}{\partial x_n^p})=0$

и называются дифференциальными уравнениями; порядок наивысшей производной называется порядком уравнения.

Если $n=1$, то есть независимое переменное одно, то уравнения называются обыкновенными, если же $n>1$, то — уравнениями с частными производными.

Мы начнем с того случая, когда имеется одна функция ($m=1$) и одно независимое переменное ($n=1$); тогда функция $y$ определяется одним дифференциальным уравнением:

$F(x,y,\frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{d{x}^2},\frac{d^{3}y}{d{x}^3},\dots )=0;$

если в уравнения входят производные до порядка $p$, то уравнение называется уравнением $p$-го порядка.

Определение функций из дифференциальных уравнений, или интегрирование дифференциальных уравнений, можно понимать различно. Самая узкая постановка задачи следующая: выразить искомую функцию через элементарные функции. В этом смысле, вообще говоря, задача, конечно, не всегда разрешима, так как даже для самого простейшего дифференциального уравнения

$\frac{dy}{dx}=f(x)$

имеем

$y=\int f(x)dx+C$

и $y$ не всегда выражается в элементарных функциях, хотя бы это и имело место для $f(x)$.

Во-вторых, нахождение функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, можно понимать в смысле указания приема, которым по каждому значению переменного находится значение функции. Такие приемы могут быть весьма разнообразны, например, задача в этом смысле будет разрешена, коль скоро будет найдено разложение функции в сходящийся ряд, более или менее простого типа. Взяв известное число членов, для каждого значения переменного в пределах сходимости ряда получим с любым приближением значение функции.

Третье толкование определения функции из дифференциального уравнения состоит в том, что мы считаем задачу разрешенной, как только нам удастся привести ее к другим более простым задачам, и именно к вычислению интегралов данных функций, или квадратурам. Таким образом, возникает вопрос о дифференциальных уравнениях, приводимых к квадратурам.