Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/20

Штейнериана

Шаблон:§ Пусть $p$ — точка гессианы, а $o$ — соответствующая ей точка штейнерианы. Прямая $p^{n-1}{C}_n$ проходит через $o$, а ее точки являются полюсами первых поляр, касающихся в точке $p$ прямой $po$ (§ [[../19#112a|112a]]); среди них имеется одна, имеющая в $p$ двойную точку, и ее полюсом является точка $o$ ([[../14#88d|88d]]; [[../14#90a|90a]]).

Шаблон:§ Пусть $o,o^{\prime }$ — две точки штейнеринаны; полюса прямой $o{o}^{\prime }$ — это $(n-1{)}^2$ пересечений поляр $o{C}_n$ и $o^{\prime }{C}_n$, имеющих по двойной точке в соответствующих точках $p,p^{\prime }$ гессианы. Если взять точку $o^{\prime }$ бесконечно близко к $o$, то прямая $o{o}^{\prime }$ — касательная к штейнериане в точке $o$ — имеет полюс в $p$; поэтому касательные к штейнериане являются полярными прямыми для точек гессианы. Поэтому (§ [[../14#90b|90b]]):

Штейнериана является оболочкой прямых, имеющих два совпадающих полюса.

Шаблон:§ Эта теорема помогает вычислить класс штейнерианы. Полюса касательных, проведенных к этой кривой из произвольной точки $i$, лежат на поляре $i{C}_n$, которая пересекает гессиану в $3(n-1)(n-2)$ точках. Поэтому штейнеринана имеет класс $3(n-1)(n-2)$.

Шаблон:§ Поскольку точки перегиба фундаментальной кривой $C_n$ принадлежат гессиане (§ [[../16#100|100]]), полярные прямые для этих точек, то есть стационарные касательные кривой $C_n$, касаются и штейнерианы.

Точки штейнерианы, соответствующие точкам перегиба кривой $C_n$, рассматриваемым как точки гессианы, лежат на стационарных касательных фундаментальной кривой; эти касательные к тому же касаются кривой класса $3(n-1)(n-2)$, которую огибают индиктриссы для точек гессианы (§ [[../19#114b|114b]]).

Шаблон:§ В силу общей теоремы § [[../17#103|103]]-103a, $(n-1)$-ая поляра для гессианы, то есть оболочка полярных прямых, полюса которых лежат на гессиане, является кривой $K$ класса $3(n-1)(n-2)$ и порядка $3(n-2)(5n-11)$, составной частью которой является штейнерианы.

Если $i$ — пересечение двух касательных к штейнериане, каждая из которых имеет полюс на гессиане, то через эти два полюса проходит первая поляра $i{C}_n$. Если эти касательные сливаются, то два полюса сливаются в одну единственную точку, в которой гессиана касается $i{C}_n$, и поэтому точка $i$ лежит на кривой $K$, которую [согласно § [[../17#103a|103a]]] можно рассматривать и как место полюсов поляр, касающихся гессианы. Но точки $i$, которые можно определить как такие точки, в которых пересекаются две соседние касательные штейнерианы, — это, помимо точек самой кривой, точки, лежащие на любой из стационарных касательных к самой кривой. Следовательно, линия $K$ — $(n-1)$-ая поляра для гессианы — составлена из штейнерианы и ее стационарных касательных. Отсюда: штейнерианы имеет $3(n-2)(5n-11)-3(n-2{)}^2=3(n-2)(4n-9)$ стационарных касательных.

Таким образом, о штейнериане мы знаем ее порядок $3(n-2{)}^2$, класс $3(n-1)(n-2)$ и число $3(n-2)(4n-9)$ точек перегиба. Поэтому, по формулами Плюкера (§ [[../16#99|99]], 100), можно найти остальные характеризующие ее числа:

Штейнериана кривой порядка $n$.

порядок:	$3(n-2{)}^2$	класс:	$3(n-1)(n-2)$
число двойных точек:	$\delta =\frac{3}{2}(n-2)(n-3)(3n^2-9n-5)$	число двойных касательных:	$\tau =\frac{3}{2}(n-2)(n-3)(3n^2-3n-8)$
число точек возврата:	$\chi =12(n-2)(n-3)$	число стационарных касательных (точек перегиба):	$\iota =3(n-2)(4n-9)$

Числа $\chi +2\iota$, $\tau +\iota$ и $\delta$, к которому добавлено число точек, в которых стационарные касательные пересекают штейнериану и пересекаются между собой, являются соответственно числом точек возврата, двойных касательных и двойных точек составной кривой $K$ порядка $3(n-2)(5n-11)$, $(n-1)$-ой полярой для гессианы, что согласуется с общими результатами § [[../17#103|103]].

Особые пучки сети

Шаблон:§ Пусть $o{o}^{\prime }$ — некоторая касательная к штейнериане, проведенная в точке $o$; пусть, далее, $p$ — соответствующая ей точка гессианы. Первые поляры для точек прямой $o{o}^{\prime }$ образуют пучок кривых, касающихся в точке $p$ прямой $po$. Среди кривых этого пучка имеется одна, именно $o{C}_n$, для которой точка $p$ является двойной, а еще $3(n-2{)}^2-2$ других кривых, именно первых поляр для точек, в которых $o{o}^{\prime }$ пересекает штейнериану, имеют где-то по двойной точке.

Шаблон:§ Если $o{o}^{\prime }$ — двойная касательная к штейнериане, $o$ и $o^{\prime }$ — точки касания, а $p$ и $p^{\prime }$ — соответствующие им точки гессианы, то первый поляры для точек прямой $o{o}^{\prime }$ касаются друг друга и в точке $p$, и в точке $p^{\prime }$. Поэтому (§ 118d):

В геометрической сети кривых порядка $n-1$, имеется $\frac{3}{2}(n-2)(n-3)(3n^2-3n-8)$ пучков, в каждом из которых кривые касаются друг друга в двух различных точках.

Шаблон:§ Если на двойной касательной $o{o}^{\prime }$ обе точки касания сливаются в точку $o$, то есть эта прямая теперь является стационарной касательной штейнерианы, то точки $p$ и $p^{\prime }$ тоже сливаются в одну единственную точку, а первые поляры для точек прямой $o{o}^{\prime }$ касаются друг друга с кратностью три в точке $p$, являющейся двойной точкой поляры $o{C}_n$.

Кроме того, первые поляры касаются в точке $p$ гессианы, поскольку стационарные касательные штейнерианы являются составной частью места полюсов первых поляр, касающихся гессианы (§ 118d). Отсюда следует, что, если $o$ — точка перегиба штейнерианы, а $p$ — двойная точка первой поляры $o{C}_n$, то прямая $po$ касается гессианы в $p$.

Аналогично доказывается, что в геометрической сети кривых порядка $n-1$ имеется $3(n-2)(4n-9)$ пучков, в каждом из которых кривые касаются друг друга с кратностью три, то есть оскулирующие друг с другом в одной точке.

Первая поляра, имеющая две двойные точки

Шаблон:§ Рассмотрим первую поляру $o{C}_n$, имеющую две двойные точки — $p$ и $p^{\prime }$. Проведем через точку $o$ произвольную прямую $R$, первые поляры для точек прямой $R$ образуют пучок, кривые которого имеют $3(n-2{)}^2$ двойных точек (§ [[../14#88|88]]), именно, $3(n-2{)}^2$ точек, общих кривой $R$ и штейнериане, являются полюсами того же числа первых поляр, имеющих двойную точку. Но, поскольку две двойные точки лежат на одной и той же поляре $o{C}_n$, то этот пучок содержит только $3(n-2{)}^2-2$ других кривых, обладающих двойными точками; отсюда получается, что $R$ пересекает штейнерину не более чем в $3(n-2{)}^2-2$ точках, отличных от $o$, то есть $o$ — двойная точка штейнерианы.

Когда в качестве прямой $R$ взята полярная прямая $P=p^{n-1}{C}_n$, все первые поляры для ее точек Шаблон:Опечатка друг друга в точке $p$, а, следовательно, эта точка считается за две среди $3(n-2{)}^2$ двойных точек пучка (§ [[../14#88a|88a]]). Тогда точки $p$ и $p^{\prime }$ эквивалентны трем двойным точкам, пучок содержит только $3(n-2{)}^2-3$ кривых, имеющих двойные точки [и отличных от $o{C}_n$]; а это означает, что прямая $P$ имеет только $3(n-2{)}^2-3$ точек, общих со штейнерианой и отличных от $o$. Поэтому эта точка эквивалентна трем пересечениям этой кривой с прямой $P$; то же можно сказать и о прямой $P^{\prime }={p^{\prime }}^{n-1}{C}_n$.

Итого: если первая поляра имеет две двойные точки $p$ и $p^{\prime }$, то ее полюс $o$ является двойной точкой штейнерианы, касающейся здесь прямых $p^{n-1}{C}_n$ и ${p^{\prime }}^{n-1}{C}_n$.

Вспомнив число двойных точек штейнерианы, подсчитанное в § 118, d), получаем:

В геометрической сети порядка $n-1$, имеется $\frac{3}{2}(n-2)(n-3)(3n^2-9n-5)$ кривых, каждая из которых имеет две двойные точки.

Первая поляра, имеющая точку возврата

Шаблон:§ Представим себе теперь первую поляру $o{C}_n$, имеющую точку возврата $p$. Произвольная прямая $R$, проведенная через точку $o$, задает пучок первых поляр, одна из которых имеет точку возврата в точке $p$; поэтому число других первых поляр, имеющих двойные точки, равно $3(n-2{)}^2-2$ (§ [[../14#88b|88b]]). Это означает, что прямая $R$ пересекает штейнериану в двух точках, сливающихся в точку $o$.

Но если взять в качестве прямой $P$ поляру $p^{n-1}{C}_n$, то первые поляры для это прямой Шаблон:Опечатка друг друга в точке $p$, и поэтому среди них имеется только $3(n-2{)}^2-3$, кривых, имеющих двойные точки [и отличных от $o{C}_n$]; а это означает, что прямая $P$ имеет только $3(n-2{)}^2-3$ точек (§[[../14#88c|88c]]), общих со штейнерианой и отличных от $o$. Поэтому эта точка эквивалентна трем пересечениям прямой $P$ со штейнерианой, и это, очевидно, есть специфическое свойство прямой $P$.

Итого: если первая поляра имеет точку возврата $p$, то ее полюс $o$ является точкой возврата штейнерианы, касающейся здесь прямой $p^{n-1}{C}_n$.

Воспользовавшись числом точек возврата штейнерианы, подсчитанным в § 118d, имеем:

В геометрической сети порядка $n-1$, имеется $12(n-2)(n-3)$ кривых, каждая из которых имеет точку возврата.

Штейнериана и $(n-1)$-ая поляра для заданной кривой

Шаблон:§ Кривая $C_m$ порядка $m$ пересекает гессиану в $3m(n-2)$ точках; полярные прямые для этих точек касаются $(n-1)$-ой поляры для $C_m$ (§ [[../17#103e|103e]]) и штейнерианы (§ 118a). Пусть $p$ — одна из этих точек, а $o$ — точка касания штейнерианы и полярной прямой $p^{n-1}{C}_n$. Поляра $o{C}_n$ имеет двойную точку в $p$, поэтому она имеет здесь две совпадающие точки, общие с кривой $C_m$. Это означает, что точка $o$ принадлежит $(n-1)$-ая поляра для $C_m$, поскольку последнюю можно описать как место полюсов первых поляр, касающихся $C_m$ (§ [[../17#103|103]]).

Иными словами: $(n-1)$-ая поляра для заданной кривой порядка $m$ касается штейнерианы в $3m(n-2)$ точках, являющихся полюсами того же числа первых поляр, имеющих двойные точки там, где заданная кривая пересекает гессиану.

При $m=1$ имеем:

Произвольная прямая $R$ пересекает гессиану в $3(n-2)$ точках, являющихся двойными для того же число первых поляр, полюса которых — это точки касания штейнерианы и $(n-1)$-ой поляры для прямой $R$.

Очевидно, что:

Если $R$ — обычная касательная к гессиане, то $(n-1)$-ая поляра для $R$ имеет со штейнерианой имеет одно четырехточечное касание и $3n-8$ двухточечных.

Если $R$ — стационарная касательная к гессиане, то $(n-1)$-ая поляра для $R$ имеет со штейнерианой имеет одно шеститочечное касание и $3n-9$ двухточечных.

Если $R$ — двойная касательная к гессиане, то $(n-1)$-ая поляра для $R$ имеет со штейнерианой имеет два четырехточечных касания и $3n-10$ двухточечных.