Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/19

Шаблон:§ Вернемся к общему случаю фундаментальной кривой $C_n$ произвольного порядка $n$, и попытаемся провести через заданную точку $p$ прямую, касающуюся здесь первой поляры $o{C}_n$ для точки $o$ этой же прямой. Полюса первых поляр, проходящих через точку $p$, лежат на полярной прямой $p^{n-1}{C}_n$. Если, кроме того, точка $p$ должна быть точкой касания поляры $o{C}_n$ с прямой, проведенной через полюс $o$, то поляра $o(o{C}_n)=o^2{C}_n$ должна проходить через точку $p$ (§ [[../13#70|70]]); поэтому точка $o$ — это точка пересечения полярной прямой $p^{n-1}{C}_n=p{p}^{n-2}{C}_n$ с полярной коникой $p^{n-2}{C}_n$, то есть $po$ должна быть касательной к полярной конике $p^{n-2}{C}_n$. Следовательно, искомые прямые — это две касательные, которые из точки $p$ можно провести к полярной конике для этой точки, то есть две индикатриссы точки $p$ (§ [[../14#90c|90c]]).

Рис. к § 112a.

Шаблон:§ Если $p$ — точка гессианы, то ее полярная коника — это пара прямых, пересекающихся в соответствующей точке $o$ штейнерианы, через которую проходит еще полярная прямая $p^{n-1}{C}_n$. Точки этой прямой — это полюса первых поляр , проходящих через точку $p$ и имеющих здесь общую касательную (§ [[../14#90a|90a]]); [полюс одной из них лежит на этой касательной], отсюда следует, что эта прямая является индекатриссой для точки $p$ [§ 112]. Но обе индикатриссы для $p$ совпадают с прямой $po$ (§ [[../14#90c|90c]]); откуда в силу § [[../15#98b|98b]] имеем:

Прямая, соединяющая точку гессианы с соответствующей ей точкой штейнерианы, касается в первой из этих точек всех первых поляр, через нее проходящих.

Отсюда следует, что линия класса $3(n-1)(n-2)$, которую огибают общие касательные в точках касания первых поляр (§ [[../14#91b|91b]]), можно также определить как оболочку прямых, соединяющих пары соответствующих точек гессианы и штейнерианы (§ [[../15#98b|98b]]).

Шаблон:§ Пусть задана прямая $R$, на ней существуют $2(n-2)$ точек, каждая из которых, скажем $o$, является полюсом первой поляры, касающейся прямой $R$ в некоторой точке $p$ (§ [[../17#103c|103c]]); следовательно на произвольной прямой имеется $2(n-2)$ точек, для каждой из которых эта прямая является индикатриссой.

Если $R$ является касательной к фундаментальной кривой, то в точке касания совпадают две точки $o$ и две соответствующие им точки $p$.

Кривая $L^{ii}$

Шаблон:§ Каково место точки $p$, если одна из ее индикатрисс проходит через фиксированную точку $i$? Каждая прямая, проходящая через $i$, содержит $2(n-2)$ подходящих положений точки $p$ (§ 112b); а точка $i$ представляет еще две другие точки $p$, соответствующие двум индикатриссам для той же точки $i$. Следовательно, искомое место — это кривая $L^{ii}$ порядка $2(n-2)+2=2(n-1)$, которая проходит два раза через точку $i$.

Для касательной к фундаментальной кривой в точке касания совпадают две точки $p$; следовательно, линия $L^{ii}$ касается $C_n$ в $n(n-1)$ точках касания с прямыми, проведенными из этой точки $i$. [Таким образом, кривые $L^{ii}$ и $C_n$ касаются во всех своих общих точках, а сами эти точки лежат на $i{C}_n$.]

[Подсчитаем теперь число точек пересечения $L^{ii}$ с полярой $i^2{C}_n$.] Заменяя в § 112 полюс $o$ на точку $i$, имеем:

$i{C}_n\cap i^2{C}_n\subset L^{ii}$,

то есть точки пересечения поляр $i{C}_n$ и $i^2{C}_n$, а таковых имеется $(n-1)(n-2)$, лежат на кривой $L^{ii}$. Наоборот, если $p$ лежит на пересечении $i^2{C}_n$ и $L^{ii}$, то точка $i$ должна лежать на полярной конике $p^{n-2}{C}_n$ и на касательной, проведенной из точки $p$ к полярной конике $p^{n-2}{C}_n$, а, следовательно, также и полярной прямой $p^{n-1}{C}_n$. Но тогда точка $p$ лежит на первой поляре $i{C}_n$. Таким образом, только эти $(n-1)(n-2)$ точек являются общими для кривой $L^{ii}$ с полярой $i^2{C}_n$; а значит, в каждой из этих точек кривые касаются. Итого: кривая $L^{ii}$ касается фундаментальной кривой и второй поляры $i^2{C}_n$ всюду, где она их пересекается, и все $n(n-1)+(n-1)(n-2)$ точек касания лежат на первой поляре $i{C}_n$.

Поскольку поляру $i{C}_n$, считаемую два раза, можно рассматривать как линию порядка $2(n-1)$, и поскольку фундаментальная кривая и поляра $i^2{C}_n$ составляют вмести другую кривую того же порядка, то через $2(n-1{)}^2$ точек, в которых поляра $i{C}_n$ пересекает $C_n$ и поляру $i^2{C}_n$, можно провести пучок кривых порядка $2(n-1)$, каждая из которых касалась бы фундаментальной кривой и поляры $i^2{C}_n$ во всех точках [пересечения с ними] (§ [[../8#41|41]]). Среди бесконечного числа кривых этого пучка та, которая проходит через точку $i$, и есть кривая $L^{ii}$.

Оболочка индикатрисс для точек, лежащих на заданной кривой

Шаблон:§ Какого класса оболочка индикатрисс для точек, лежащих на заданной кривой $C_m$ порядка $m$? Иными словами, сколько точек этой кривой имеют индикатриссы, проходящие через точку $i$, зафиксированную произвольным образом? Согласно § 113, место точки $p$, индикатриссы для которой проходят через $i$, является кривой порядка $2(n-1)$, которая пересекает $C_m$ в $2m(n-1)$ точках; следовательно в $i$ пересекается $2m(n-1)$ касательных к искомой оболочке.

Следует заметить, что эта оболочка касается фундаментальной кривой $C_n$ всюду, где $C_n$ пересекается с $C_m$, и, следовательно, пара индикатрисс для каждой из этих пересечений сливается с соответствующей касательной к $C_n$. Итого:

Индикатриссы для точек, лежащих на линии порядка $m$, огибают линию класса $2m(n-1)$, касающуюся фундаментальной кривой в тех точках, в которых фундаментальная кривая пересекается с заданной линией порядка $m$.

Шаблон:§ Отсюда при $m=1$ следует, что индикатриссы для точек заданной прямой огибают кривую класса $2(n-1)$, касающуюся в $2(n-2)$ точках самой этой прямой, поскольку она является индикатриссой для $2(n-2)$ своих точек (§ 112b) .

Шаблон:§ В доказанной в § 114 общей теоремы, если точка $p$ лежит на гессиане, являющейся кривой порядка $3(n-2)$, то индикатриссы для $p$ огибают кривую класса $6(n-1)(n-2)$; но поскольку в это случае для каждого положения точки $p$ пара индикатрисс сливается в одну единственную прямую (§ [[../14#90c|90c]]), то оболочки редуцируется до $3(n-1)(n-2)$: этот результат уже был получен другим способом в § [[../14#91b|91b]], 112a).

Эта оболочка содержит $3(n-1)(n-2)$ касательных, проходящих через заданную точку $i$, поэтому каждая из $3(n-1)(n-2)$ точек $p$ гессианы, индикатриссами для которых служат названные касательные, представляет два пересечения гессианы с определенной в § 113 кривой $L^{ii}$.

Объединив это свойство с доказанным в § 113, имеем:

Пусть задана точка $i$, то место точки $p$, такой, что прямая $pi$ является касательной к полярной конике $p^{n-2}{C}_n$, является линией $L^{ii}$ порядка $2(n-1)$, которая проходит два раза через точку $i$ и касается фундаментальной кривой, ее гессианы и второй поляры $i^2{C}_n$ всюду, где она пересекает эти кривые.

Место точки, индикатрисса для которой является касательной к заданной кривой

Шаблон:§ Попытаемся теперь определить порядок места точки $p$, индикатрисса для которой является касательной к заданной кривой $K_r$ класса $r$, то есть выяснить сколько точек, лежащих на прямой $R$, имеют индикатриссы, касающиеся кривой $K_r$. Если точка $p$ движется вдоль прямой $R$, то, в силу § 114a, ее индикатриссы огибают линию класса $2(n-1)$, которая имеет $2r(n-1)$ общих касательных с заданной кривой $K_r$. Поэтому искомое место имеет порядок $2r(n-1)$.

Если мы рассмотрим общую касательную к кривым $K_r$ и $C_n$, то в точке касания с $C_n$ совпадают две точки $p$, для которых касательная дает положение индикатриссы, отсюда получается, что искомое место касается фундаментальной кривой в $rn(n-1)$ точках, в которых фундаментальная кривая касается общих с кривой $K_r$ касательных, или же (что то же) в точках, в которых фундаментальная кривая пересекает первую поляру для $K_r$ (§ [[../17#104d|104d]]).

Кривая $K_r$ имеет $3r(n-1)(n-2)$ общих касательных с оболочкой индикатрисс для точек гессианы, поэтому $3r(n-1)(n-2)$ — это и число точек, общих гессиане [имеющей согласно § [[../14#90a|90a]] порядок $3(n-2)$] и обсуждаемому сейчас месту порядка $2r(n-1)$, итого:

Место точки, из которой можно провести касательные к ее полярной конике, одна из которых касается заданной кривой класса $r$, является линией порядка $2r(n-1)$, которая касается фундаментальной кривой и ее гессианы всюду, где их пересекает.

Кривая $L^{ij}$

Шаблон:§ Пусть заданы две фиксированные точки $i$ и $j$. Разыщем место точки $p$, такой, что прямые $pi$ и $pj$ являются сопряженными полярами (§ [[../18#108|108]]) относительно полярной коники $p^{n-2}{C}_n$. Очевидно, что это место проходит через $i$ и $j$.

Пусть $R$ — прямая, проведенная произвольным образом через $j$, а $p$ — точка на $R$. Пусть полярные прямые $p{p}^{n-2}{C}_n$ и $i{p}^{n-2}{C}_n$ пересекают $R$ в точках $a$ и $b$ соответственно. Когда эти две точки сливаются в одну единственную точку, эта последняя оказывается полюсом прямой $pi$ относительно коники $p^{n-2}{C}_n$, а, следовательно, и $p$ оказывается точкой искомого места.

Выберем на $R$ произвольным образом точку $a$, ей отвечают $n-1$ положений полюса $p$ проходящей через нее полярной прямой $p{p}^{n-2}{C}_n=p^{n-1}{C}_n$, именно точки пересечения прямой $R$ и первой поляры $a{C}_n$, а, следовательно, столько же положений точки $b$. Если, наоборот, взять произвольным образом точку $b$, то есть задать точку пересечения прямых $R$ и $i{p}^{n-2}{C}_n$, то полюс $p$ лежит на поляре $ib{C}_n$, $n-2$ пересечения которой с $R$ дают положения точки $p$, соответствующие заданной точке $b$; таким образом, этой точке соответствуют $n-2$ точек $a$.

Следовательно, число точек $p$ на прямой $R$, в которых $a$ и $b$ совпадают, равно $(n-1)+(n-2)$; поскольку же сама точка $j$ принадлежит искомой кривой, то ее порядок равен $(n-1)+(n-2)+1=2(n-1)$.

Обозначим ее как $L^{ij}$, поскольку, когда $j$ совпадает с $i$, эта кривая совпадает с кривой $L^{ii}$, уже рассмотренной в § 113 .

Пусть $p$ — точка касания фундаментальной кривой с касательной, проведенной из точки точки $i$; прямая $p^{n-1}{C}_n=pi$ касается в точке $p$ полярной коники $p^{n-2}{C}_n$, поэтому, какова бы ни была $j$, прямая $pj$ проходит через полюс $pi$. Следовательно, $p$ принадлежит кривой $L^{ij}$, то есть эта линия проходит через $n(n-1)$ точек касания фундаментальной кривой с касательными, проведенными из точки $i$; и по той же причини — еще через $n(n-1)$ точек, в которой $C_n$ касается прямых, проведенных через $j$.

Выясним, в скольких точках кривая $L^{ij}$ пересекает поляру $ij{C}_n$, которую для краткости будем называть смешанной второй полярой для точек $i$ и $j$. Если $ij{C}_n$ проходит через $p$, то и полярная прямая $i{p}^{n-2}{C}_n$ проходит через $j$, иными словами, точки $i$, $j$ являются сопряженными полюсами относительно коники $p^{n-2}{C}_n$ (§ [[../18#108|108]]). В таком случае, для того, чтобы прямые $pi$ и $pj$ были сопряженными относительно той же коники, достаточно, чтобы поляра $p^{n-1}{C}_n$ проходила через $i$ или $j$, то есть чтобы точка $p$ лежала или на поляре $i{C}_n$, или на $j{C}_n$. Поэтому кривая $L^{ij}$ проходит через точки, в которых вторая смешанная поляра для $i,j$ пересекает первые поляры для этих точек.

Пусть теперь $p$ и $o$ — две соответствующие точки гессианы и штейнерианы, такие, что прямая $po$ проходит через точку $i$. Для того, чтобы выразить условие — прямые $pi$ и $pj$ являются сопряженными относительно коники $p^{n-2}{C}_n$ — достаточно сказать, что прямые $p^{n-1}{C}_n$, $j{p}^{n-2}{C}_n$ и $pi$ пересекаются в одной точке. Но в рассматриваемом случае коника $p^2{C}_n$ является парой прямых, пересекающихся в точке $o$ (§ [[../14#90a|90a]]), поэтому через эту точку проходят прямые $p^{n-1}{C}_n$ и $j{p}^{n-2}{C}_n$. Но по предположению и прямая $pi$ проходит через точку $o$, а значит, точка $p$ принадлежит $L^{ij}$, то есть эта кривая проходит через $3(n-1)(n-2)$ точек гессианы, индикатриссы которой пересекаются в точке $i$ (§ 112a). Аналогично, кривая $L^{ij}$ проходит и через $3(n-1)(n-2)$ точек гессианы, индикатриссы которой проходят через точку $j$. Итого:

Пусть заданы две точки $i$ и $j$, тогда место точки $p$, такой, что прямые $pi$ и $pj$ являются сопряженными относительно коники $p^{n-2}{C}_n$, является кривой $L^{ij}$ порядка $2(n-1)$, проходящей через:

1. точки $i$ и $j$;
2. точки, в которых фундаментальная кривая касается прямых, проходящих через $i$ или $j$;
3. точки, в которых $i{C}_n$ касается прямой, проходящей через $j$, или $j{C}_n$ касается прямой, проходящей через $i$;
4. точки гессианы, индикатриссы для которых проходят через $i$ или $j$.

Шаблон:§ Другими словами, кривая $L^{ij}$ пересекает фундаментальную кривую и ее гессиану в тех точках, где она касается кривых $L^{ii}$ и $L^{jj}$, зависящих только от точек $i$ и $j$ соответственно (§ 113).

Шаблон:§ Если задана точка $i$, а $j$ движется, описывая прямую $R$, то линия $L^{ij}$ порождает пучок. В самом деле, какова бы ни была точка $j$, эта линия проходит через $4(n-1{)}^2$ постоянных точек, именно:

1. точку $i$;
2. $n(n-1)$ точек $C_n$, в которых она касается прямых, проведенных из точки $i$;
3. $3(n-1)(n-2)$ точек гессианы, индикатриссы которой пересекаются в точке $i$;
4. $2n-3$ точек, в которых (помимо подвижной точки $j$) прямая $R$ пересекает $L^{ji}$; эти точки неподвижны, поскольку являются общими точками двух проективных инволюций, независящих от $j$.

Это свойство может быть доказано путем подсчета кривых $L^{ij}$, проходящих через заданную точку $q$, когда $i$ фиксировано, а $j$ должна лежать на прямой $R$. Поскольку прямые $qi$ и $qj$ должны быть сопряженными относительно коники $q^{n-2}{C}_n$, то точка $j$ должна быть пересечением прямой $R$ с прямой, соединяющей точку $q$ с полюсом $qi$ относительно коники $q^{n-2}{C}_n$. [Поэтому через $q$ проходит одна единственная кривая $L^{ij}$ с указанными свойствами, а значит, все эти кривые образуют пучок.]

Тем же путем доказывается след.: если точка $i$ фиксирована, кривые $L^{ij}$, проходящие через одну и ту же точку $q$ образуют пучок; то есть что через две заданные точки, скажем $q$ и $q^{\prime }$, проходит одна единственная кривая $L^{ij}$ при фиксированном $i$ и т. д.

Обобщения

Шаблон:§ Предыдущее исследование (§ 116) может быть обобщено, если вместо точки $j$ взять кривую-оболочку или также вместо $i$ — другую кривую-оболочку, или же одну единственную кривую вместо систему двух точек.

Пусть задана кривая кривая $K_r$ класса $r$ и точка $i$, попытаемся определить место точки $p$, такой, что прямая $pi$ является сопряженной относительно коники $p^{n-2}{C}_n$ к какой-либо касательной, которую можно провести через точку $p$ к кривой $K_r$: иными словами, прямая $pi$ проходит через точку пересечения прямой $p^{n-1}{C}_n$ и взаимной поляры для $K_r$ относительно коники $p^{n-2}{C}_n$ (§ [[../18#110|110]]).

Искомая кривая проходит $r$ раз через $i$, поскольку, если точка $p$ попадает в $i$, то имеется $r$ прямых $pi$, удовлетворяющих указанному выше условию: именно, прямые, соединяющие точку $i$ с $r$ точками, в которых полярная прямая $p^{n-1}{C}_n$ пересекает взаимную поляру для $K_r$ (относительно коники $i^{n-2}{C}_n$).

Пусть $p$ — точка на кривой $C_n$, тогда прямая $p^{n-1}{C}_n$ является касательной к фундаментальной кривой в этой точке. Если эта прямая касается еще и $K_r$, то $p$ принадлежит взаимной поляре для $K_r$ (относительно $p^{n-2}{C}_n$) и, следовательно, какова бы ни была точка $i$, прямая $pi$ проходит через точку $p$, общую взаимной поляре и прямой $p^{n-1}{C}_n$, а значит, точка точка принадлежит искомому месту. Стало быть, это место содержит $rn(n-1)$ точек касания фундаментальной кривой с общими с кривой $K_r$ касательными.

Если же $p$ принадлежит $C_n$ и $pi$ является касательной к этой кривой в точке $p$, то $pi=p^{n-1}{C}_n$. Эта прямая пересекает в $r$ точках взаимную поляру для $K_r$, поэтому $p$ является точкой кратности $r$ искомой кривой. Последняя имеет, таким образом, $n(n-1)$ точек кратности $r$ там, где $C_n$ касается прямых, проведенных из точки $i$.

Пусть теперь $p$ — точка гессианы, а $o$ — соответствующая ей точка штейнерианы. Если прямая $po$ является касательной к заданной кривой $K_r$, то она сопряжена к прямой $pi$ относительно коники $p^{n-2}{C}_n$, поскольку эта прямая, как и поляры $p{p}^{n-2}{C}_n$, $i{p}^{n-2}{C}_n$, проходит через точку $o$. Отсюда получается, что точка $p$ принадлежит рассматриваемому месту, а это означает, что это место проходит через $3r(n-1)(n-2)$ точек гессианы, индикатриссы в которых касаются $K_r$ [§ 112a].

Пусть опять $p$ и $o$ — соответствующие точки гессианы и штейнерианы, но пусть теперь прямая $po$ проходит через точку $i$. Тогда, поскольку коника $p^{n-2}{C}_n$ является парой прямых, парой прямых, пересекающихся в точке $o$, поляра, взаимная к $K_r$ относительно этой коники, является пучком $r$ прямых, пересекающихся в точке $o$ (§ [[../18#110a|110a]]). Поэтому точка $o$ представляет $r$ пересечений как прямой $pi$, так и поляры $p^{n-1}{C}_n$ с взаимной полярой для $K_r$, и следовательно, $p$ является местом $r$ соседних точек, общих искомой кривой и гессиане. Поэтому обсуждаемое геометрическое место имеет касание порядка $r$ с гессианой в каждой из $3(n-1)(n-2)$ точек, индикатриссы которых проходят через $i$.

Используем последнее обстоятельство для вычисления порядка обсуждаемой кривой. Пусть $R$ — произвольная прямая, проведенная через точку $i$, и пусть $p$ — некоторая точка прямой $R$. Пусть, далее, прямая $p^{n-1}{C}_n$ пересекает $R$ в точке $a$, а взаимная полярая для $K_r$ (относительно коники $p^{n-2}{C}_n$) пересекает прямую $R$ в $r$ точках $b$. Если взять произвольным образом точку $a$, то ей ответят $n-1$ положений точки $p$ (пересечения прямой $R$ с полярой $a{C}_n$) и, следовательно, $r(n-1)$ положений для точки $b$. Если же наоборот, взять произвольным образом $b$, как пересечение прямой $R$ с взаимной полярой для $K_r$ относительно полярной коники с неопределенным полюсом, то этот полюс лежит на первой поляре для $K_r$ относительно $b{C}_n$ (§[[../17#104k|104, k]]), то есть на кривой порядка $r(n-2)$ (§[[../17#104d|104, d]]), которая пересекает $R$ в том же числе точек $p$, и каждой из них соответствует одна точка $a$. Поэтому каждой точке $a$ отвечает $r(n-1)$ точек $b$, а каждой точке $b$ — $r(n-2)$ точек $a$; поэтому совпадение точки $a$ с одной из соответствующих ей точек $b$ происходит $r(n-1)+r(n-2)$ раз. Как только такое совпадение подтверждается, точка $p$ принадлежит искомой кривой. Значит, эта кривая имеет $r(2n-3)$ точек на $R$, помимо точки $i$, которая считается $r$; иными словами, порядок равен $2r(n-1)$.

Шаблон:§ Аналогично доказывается след.:

Пусть заданы две кривые $K_r$ и $K_s$ классов $r$ и $s$ соответственно, тогда место точки $p$, такой, что проведенные через нее две прямые, одна касающаяся кривой $K_r$, а другая — кривой $K_s$, являются сопряженными относительно коники $p^{n-2}{C}_n$, является линией порядка $2rs(n-1)$, которая

1. проходит $s$ раз через каждую из $rn(n-1)$ точек, в которых фундаментальная кривая $C_n$ касается прямых, касающихся кривой $K_r$;
2. проходит $r$ раз через каждую из $sn(n-1)$ точек, в которых $C_n$ касается прямых, касающихся кривой $K_s$;
3. имеет касание кратности $s$ с гессианой в каждой из $3r(n-1)(n-2)$ точек, в которых касаются $K_r$;
4. имеет касание кратности $r$ с гессианой в каждой из $3s(n-1)(n-2)$ точек, в которых касаются $K_s$.

Шаблон:§ Если же задана одна единственная оболочка $K_r$ класса $r$, и ищется место точки $p$, такой, что две касательные, проведенные из нее к $K_r$, являются сопряженными относительно коники $p^{n-2}{C}_n$, то получается линия порядка $rn(r-1)(n-1)$, проходящая $r-1$ раз через каждую из $rn(n-1)$ точек, где фундаментальная кривая касается касательных к $K_r$, касающаяся с порядком $(r-1)$ гессианы в каждой из $3r(n-1)(n-2)$ ее точек, индикатриссы для которых касаются $K_r$.