Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/17

Шаблон:§ Если точка, рассматриваемая как полюс поляры относительно фундаментальной кривой $C_n$, описывает некоторую другую заданную кривую $C_m$ порядка $m$, то полярная прямая огибает некоторую кривую $K$, которая, как уже было найдено в § 81, должна иметь класс $m(n-1)$. Касательные, которые можно провести из произвольной точки $o$ к $K$, являются полярными прямыми для $m(n-1)$ точек, в которых кривая $C_m$ пересекает поляру $o{C}_n$.

Шаблон:§ Если $o$ является такой точкой, первая поляра для которой касается кривой $C_m$, то две полярные прямые, проходящие через $o$, совпадают, то есть $o$ является точкой кривой $K$ (30); поэтому эта кривая является геометрическим местом полюсов, первые поляры для которых касаются $C_m$:

$K=o?o{C}_n..C_m$.

Это свойство дает нам возможность найти порядок $K$, то есть число точек, в которых кривая $K$ пересекает произвольную прямую $L$. Именно, первые поляры для точек прямой $L$ образуют пучок (§ 77); поэтому, предполагая, что $C_m$ имеет $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, имеем $m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )$ точек на прямой $L$, первые поляры для которых являются касательными к $C_m$ (87c). Поэтому кривая $K$ имеет порядок $m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi )$, [то есть $2m(n-2)+M$, где $M$ — класс кривой $C_m$].

Очевидно, что стационарные касательные к кривой $K$ являются полярными прямыми для точек возврата (punti stazionari) кривой $C_m$; отсюда следует, что $K$ имеет $\chi$ точек перегиба.

Зная порядок и число точек перегиба кривой $K$, по формулам Шаблон:Персона (§ 99, 100) можно найти все остальное. Именно, кривая $K$ имеет

$\frac{1}{2}{(m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi ))}^2-m(5m+6n-21)+10\delta +\frac{27}{2}\chi$

двойных точек,

$3m(m+n-4)-(6\delta +8\chi )$

точек возврата и

$\frac{1}{2}m(n-2)(mn-3)+\delta$

двойных касательных.

Шаблон:§ Отметим еще, что любая двойная точка кривой $K$ является полюсом для некоторой первой поляры, касающейся $C_m$ в двух различных точках , любая точка возврата кривой $K$ является полюсом некоторой первой поляры, пересекающей кривую $C_m$ [в некоторой точке] с кратностью три; и любая двойная касательная кривой $K$ является прямой, имеющей или два различных полюса на кривой $C_m$, или два полюса, совпадающих в двойной точке этой кривой.

Поскольку свойства системы первых поляр (относительно $C_n$) распространяются на произвольные сети кривых , то сказанное выше можно сформулировать так:

1.° Число кривых сети кривых порядка $n-1$, пересекающих с кратностью, равной двум заданную линию порядка $m$, имеющую $\delta$ двойных точек, $\chi$ точек возврата, равно

$\frac{1}{2}{(m(m+2n-5)-(2\delta +3\chi ))}^2-m(5m+6n-21)+10\delta +\frac{27}{2}\chi$.

2.° Число кривых этой же сети, пересекающих указанную кривую порядка $m$ с кратностью, равной трем, равно

$3m(m+n-4)-(6\delta +8\chi )$.

Шаблон:§ Каждая точка кривой $K$ является полюсом первой поляры, касающейся $C_m$; поэтому, рассматривая пересечения кривых $K$ и $C_m$, имеем:

На кривой $C_m$ порядка $m$, имеющей $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, имеется $m^2(m+2n-5)-m(2\delta +3\chi )$ точек, в которых первые поляры, взятые относительно фундаментальной кривой $C_n$, касаются самой кривой $C_m$.

При $m=1$ отсюда получается след.:

На произвольной прямой имеется $2(n-2)$ точек, в которых первые поляры, взятые относительно фундаментально кривой $C_n$, касаются самой этой прямой.

Если прямая касается $C_n$, то в точке касания сливаются два из этих $2(n-2)$ полюсов. Поэтому на касательно к $C_n$ существует $2(n-3)$ точек, каждая из которых являются полюсом первой поляры, касающейся в некоторой другой точке указанной прямой.

Шаблон:§ Если же кривая $C_m$ совпадает с кривой $C_n$, то линия $K$ состоит из самой кривой $C_n$ и ее стационарных касательных, поскольку каждая точка этой кривой является полюсом первой поляры, касающейся фундаментальной кривой (§ 71, 80).

В таком случае, двойными точками $K$ являются пересечения стационарных касательных между собой и с кривой $C_n$; точками возврата кривой $K$ являются точки перегиба кривой $C_n$, которые считаются два раза; двойными касательными кривой $K$ являются стационарные и двойные касательные кривой $C_n$.

Двойными же точками кривой $K$ являются (§ b) полюсами того же числа первых поляр, дважды касающихся фундаментальной кривой. Действительно, если точка $o$ является общей точкой двух стационарных касательных, то первая поляра $o{C}_n$ касается $C_n$ в двух соответствующих им точках перегиба. (80); а если $o$ — это точка пересечения кривой $C_n$ с одной из ее стационарных касательных, то первая $o{C}_n$ касается $C_n$ в $o$ (71) и в точке касания этой касательной с кривой $C_n$ (80). [Согласно § 1-2 на кривой $C_n$ имеется $3n(n-2)$ точек перегиба, а ], следовательно, имеется $3n(n-2)(n-3)$ первых поляр, которые дважды касаются кривой $C_n$, полюса которых лежат на самой кривой $C_n$, и еще $\frac{3}{2}n(n-2)(3n(n-2)-1)$ других первых поляр, которые тоже касаются кривой дважды, но полюса которых лежат вне кривой $C_n$.

Шаблон:§ Кривая $K$, которую огибают поляры $(n-1)$-ые поляры для точек кривой $C_m$, называется $(n-1)$-ой полярой для кривой $C_m$.

Положим $m=1$. Тогда $(n-1)$-ая поляра для прямой $R$, то есть огибающая полярных прямых для точек прямой $R$, иными словами, место полюсов первых поляр, касающихся $R$, является кривой класса $n-1$ и порядка $2(n-2)$ с $3(n-3)$ точками возврата, с $2(n-3)(n-4)$ двойными точками и с $\frac{(n-2)(n-3)}{2}$ двойными касательными, то есть:

Имеется $3(n-3)$ первых поляр, для которых заданная прямая $R$ является стационарной касательной , $2(n-3)(n-4)$ первых поляр, для которых прямая $R$ является двойной касательной , и $\frac{1}{2}(n-2)(n-3)$ прямых, имеющих по два полюса на прямой $R$ .

Шаблон:§ Если $(n-1)$-ая поляра для прямой $R$ проходит через заданную точку $o$, то эта точка является полюсом некоторой первой поляры $o{C}_n$, касающейся $R$ (§ 103e); поэтому, если $(n-1)$-ая поляра вращается вокруг фиксированной точки $o$, то прямая $R$ огибает первую поляру $o{C}_n$. Это позволяет дать два определения первой поляры для точки:

Первая поляра для точки $o$ — это место полюсов $(n-1)$-ых поляр, пересекающихся в точке $o$, и в тоже время, — это огибающая прямых, $(n-1)$-ые поляры для которых проходят через точку $o$.

Шаблон:§ Предположим, что полюс $p$ пробегает заданную кривую $C_m$ порядка $m$, имеющую $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, какой индекс имеет ряд (§ 34), образованный при этом полярами $p^r{C}_n$, и что за кривая будет его оболочкой (огибающей)?

Шаблон:§ Если поляра $p^r{C}_n$ проходит через точку $o$, то ее полюс лежит на поляре $o^{n-r}{C}_n$ (§ [[../13#69a|69a]]), то есть он является одним из $rm$ пересечений поляры $o^{n-r}{C}_n$ с кривой $C_m$. Поэтому через $o$ проходят $rm$ $(r)$-ый поляр, полюса которых лежат на $C_m$, то есть $(r)$-ые поляры для точек кривой $C_m$ образуют ряд индекса $rm$.

Шаблон:§ Если поляра $o^{n-r}{C}_n$ касается в некоторой точке кривой $C_m$, то в точке $o$ имеются две $r$-ые совпадающие поляры, то есть точка $o$ является точкой линии, которую огибают кривые рассматриваемого ряда. Поэтому:

Огибающая $(r)$-ый поляр, полюса которых лежат на кривой $C_m$, является также местом полюсов $(n-r)$-ый поляр, касающихся кривой $C_m$.

Шаблон:§ Каков же порядок этого места? Иными словами, сколько точек имеется на произвольной прямой $L$, $(n-r)$-ые поляры для которых касаются кривой $C_m$? $(n-r)$-ые поляры для точек прямой $L$ составляют ряд порядка $r$ и индекса $n-r$ (§ 104a); поэтому (§ [[../14#87c|87c]]) среди них имеется

$(n-r)(m(m+2r-3)-(2\delta +3\chi ))$

поляр, касающихся кривой $C_m$. Отсюда имеем след.:

Огибающая $(r)$-ых поляр, полюса которых лежат на кривой порядка $m$, имеющий $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, является линией порядка

$(n-r)(m(m+2r-3)-(2\delta +3\chi ))$.

Эта линия называется $(r)$-ой полярой для заданной кривой $C_m$ относительно фундаментальной кривой $C_n$.

Шаблон:§ Положим $r=1$ и обозначим как $m^{\prime }$ класс кривой $C_m$, то есть положим

$m^{\prime }=m(m-1)-(2\delta +3\chi )$

(§ [[../16#99|99]]), тогда:

Первая поляра для кривой класса $m^{\prime }$, то есть место полюсов прямых, касающихся этой кривой, является линией порядка $m^{\prime }(n-1)$.

Эта линия проходит через те точки, где фундаментальная кривая касается касательных, общих для нее с кривой класса $m^{\prime }$.

При $m^{\prime }=1$ [кривая $C_m$ становится точкой и] мы возвращаемся к определению первой поляры для точки (§ 103f).

Шаблон:§ Положим $m=1$, тогда из предыдущего получается, что $(r)$-ая поляра для прямой является линией порядка $2(r-1)(n-r)$.

Отсюда следует, что первая поляра для прямой имеет порядок, равный нулю; что неудивительно, поскольку она составлена из $(n-1{)}^2$ полюсов заданной прямой ([[../13#77|77]]).

При $r=n-1$ мы получаем отсюда утверждение, которое уже было доказано выше в (§ 103a).

Шаблон:§ Порядок $(r)$-ой поляры для прямой $R$ можно вычислить и прямо следующим образом. Рассмотрим эту линию как место точек, общих двум кривым, следующим друг за другом в ряде индекса $r$ и порядка $n-r$, образованного $(r)$-ыми полярыми, полюса которых лежат на прямой $R$

Если $a$ — произвольная точка прямой $R$, $(r)$-ым полярам, проходящим через $a$, соответствуют полюса на поляре $a^{n-r}{C}_n$, которая пересекает прямую $R$ в $r$ точках $a_1$. И наоборот, если мы имеем произвольную точку $a_1$, то поляра $a_1^r{C}_n$ пересекает прямую $R$ в $(n-r)$ точках $a$; таким образом, соотнося точки $a,a_1$ с одним и тем же началом $o$, получаем между отрезками $oa,o{a}_1$ уравнение степени $r$ по $o{a}_1$ и степени $n-r$ по $oa$. Точка $a$ принадлежала бы искомой линии, если бы совпали две из $r$ $(r)$-ых поляр, проходящие через эту точку. Но условие, по которому названное уравнение дает два равных значения для $o{a}^{\prime }$, имеет степень $2(r-1)$ относительно коэффициентов этого уравнения [§ [[../4#22|22]]] и, следовательно, имеет степень $2(r-1)(n-r)$ относительно $oa$. Поэтому имеется $2(r-1)(n-r)$ точек, общих для искомого места и прямой $R$; иными словами, огибающая $(r)$-ых поляр, полюса которых лежат на заданной прямой, является линией порядка $2(r-1)(n-r)$.

Подобные соображения можно применять во многих случаях при разыскании порядка линии, которую огибают кривые заданного ряда. Напр., если ряд имеет индекс $r$ и порядок $s$ и если можно указать (assegnare) пункутал, проективный этому ряду (то есть если между кривыми ряда и точками некоторой прямой можно установить взаимно-однозначное соответствие), то огибающая имеет порядок $2(r-1)s$. Отсюда при $s=1$ получается след.:

Если кривая класса $r$ такова, что можно указать пункутал, проективный ряду ее касательных, то порядок этой кривой может быть только равным $2(r-1)$.

Шаблон:§ Если $(n-r)$-ая поляра для прямой проходит через заданную точку $o$, то поляра $o^r{C}_n$ касается этой прямой (§ b). Поэтому:

Поляра $o^r{C}_n$, иными словами, место точек, для которых $(n-r)$-ые поляры проходят через точку $o$, является также огибающей прямых, $(n-r)$-ай поляры для которых содержат точку $o$.

Таким образом поляры для точек и для линий [§ 104b] определены двумя способами, и как места, и как оболочки (inviluppi) и, вероятно, в этой двойственности и состоит секрет плодовитости теории поляр.

Шаблон:§ Пусть $(r)$-ая поляра для кривой $C$ касается другой кривой $C^{\prime }$ в точке $o$. Тогда в точке $o$ эта поляра касается и поляры ${o^{\prime }}^r{C}_n$ для [некоторой] точки $o^{\prime }$ кривой $C$; и наоборот, по § 104b в точке $o^{\prime }$ кривая $C$ касается поляры $o^{n-r}{C}_n$. Но ${o^{\prime }}^r{C}_n$ касается в точке $o$ $C^{\prime }$, поэтому [точка $o^{\prime }$ принадлежит $(n-r)$-ой поляре для $C^{\prime }$] и здесь эта поляра касается $o^{n-r}{C}_n$; иными словами:

Если $(r)$-ая поляра для кривой $C$ касается другой кривой $C^{\prime }$, то и наоборот $(n-r)$-ая поляра для $C^{\prime }$ касается $C$.

Шаблон:§ Пусть

$R=a^{r-1}{b}^{n-r}{C}_n=b^{n-r}{a}^{r-1}{C}_n$.

Если прямая $R$ движется, огибая произвольную кривую $C$, оставляя постоянной точку $b$, тогда точка $a$ заметает первую поряру для $C$ относительно $b^{n-r}{C}_n$ (§ d). Если же, наоборот, остается постоянной точка $a$, когда прямая $R$ огибает кривую $C$, то точка $b$ заметает первую поляру для $C$ относительно $a^{r-1}{C}_n$. Поэтому:

Если первая поляра для кривой $C$ относительно $a^{r-1}{C}_n$ проходит через некоторую точку $b$, то первая поляра для $C$ относительно $b^{n-r}{C}_n$ проходит через точку $a$; и наоборот.

Шаблон:§. Пусть $K$ — $(n-1)$-ая поляра для кривой кривой $C_m$ порядка $m$, а $K^{\prime }$ — первая поляра для $K$. Согласно § [[../13#81|81]] класс кривой $K$ равен $m(n-1)$, и поэтому, согласно § 104d, порядок $K^{\prime }$ равен $m(n-1{)}^2$. Поскольку $K$ — это не только огибающая полярных прямых для точек кривой $C_m$, но так же и место полюсов первых поляр, касающихся кривой $C_m$ (§ 103a), то [линия $K^{\prime }$ — это огибающая первых поляр $a{C}_n$, касающихся $C_m$ и значит,] эта линия содержит как составную часть (comprende in se) заданную кривую $C_m$. Следовательно, когда точка $o$ пробегает кривую $C_m$, [прямые $o^{n-1}{C}_n$ огибают $K$, и, поскольку полюса прямых, касающихся $K$, описывают $K^{\prime }$, то] другие $(n-1{)}^2-1$ полюса полярной прямой $o^{n-1}{C}_n$ описывают линию порядка $m(n-1{)}^2-m=mn(n-2)$.

К этому результату можно придти иначе, разрешив след. проблему: когда точка $o$ пробегает данную линию, каково место других полюсов полярных прямых $o^{n-1}{C}_n$?

Предположим для начала, что заданная линия — это прямая $R$, и выясним в скольких точках она пересекает искомое место. В силу § 103e имеется $\frac{1}{2}(n-2)(n-3)$ прямых, каждая из которых имеет два полюса на прямой $R$, поэтому $(n-2)(n-3)$ полюсов таких прямых доставляют то же число точек искомого места. Кроме того, вспомним, что согласно § [[../14#90b|90b]]) в каждой точке гессианы совпадают два полюса одной и той же прямой, поэтому $3(n-2)$ пересечений гессианы с прямой $R$ являются тоже точками искомого места. Поэтому это место имеет $(n-2)(n-3)+3(n-2)$ точек, общих с прямой $R$, то есть, оно имеет порядок $n(n-2)$.

Если же дана линия $C_m$ порядка $m$, то возьмем произвольную прямую $R$ и подсчитаем, сколько раз случится этой прямой иметь полюс на $R$, а другой полюс на $C_m$. Сопряженные полюса прямой $R$ должны, как было уже доказано, лежать на линии порядка $n(n-2)$, которая пересекает кривую $C_m$ в $mn(n-2)$ точках. Поэтому имеется $mn(n-2)$ точек на $C_m$, каждая из которых имеет сопряженный полюс на прямой $R$; отсюда:

Если полюс описывает кривую порядка $m$, то остальные сопряженные полюса описывают линию порядка $mn(n-2)$.

Шаблон:§ Вообразим полюс $o$, пробегающий заданную кривую $C_m$ порядка $m$; каково место пересечений поляр $o{C}_n$ и $o^2{C}_n$? Возьмем произвольную прямую $R$, если через точку $i$ этой прямой проходит $o{C}_n$, то ее полюс $o$ лежит на полярной прямой $i^{n-1}{C}_n$; эта прямая пересекает кривую $C_m$ в $m$ точках, вторые поляры для которых пересекают $R$ в $m(n-2)$ точках $i^{\prime }$. Наоборот, если взять произвольным образом на $R$ точку $i^{\prime }$, через которую должна проходить вторая поляра ${o^{\prime }}^2{C}_n$, то ее полюс $o^{\prime }$ лежит на полярной конике ${i^{\prime }}^{n-2}{C}_n$, которая пересекает $C_m$ в $2m$ точках; первые поляры для этих точек задают на $R$ $2m(n-1)$ точек $i$. Таким образом мы видим, что каждой точке $i$ отвечает $m(n-2)$ точек $i^{\prime }$, а каждой точке $i^{\prime }$ отвечает $2m(n-1)$ точек $i$; поэтому согласно § [[../14#83|83]] на прямой $R$ имеется $m(n-2)+2m(n-1)=m(3n-4)$ точек $i$, каждая из которых совпадает с одной из соответствующих ей точек $i^{\prime }$; то есть искомое место является кривой $U$ порядка $m(3n-4)$. Очевидно, что эта кривая касается $C_n$ в $mn$ точках, общих кривым $C_m$ и $C_n$, поскольку в каждой из этих точек первая и вторая поляры касаются кривой $C_n$ и между собой (§ [[../13#71|71]]).

Кроме того, поскольку через точку перегиба фундаментальной кривой проходят и первая, и вторая поляры (§ [[../13#80|80]]), кривая $U$ должна проходить через точку перегиба кривой $C_n$ столько раз, сколько имеется общих точек у кривой $C_m$ и стационарной касательной. Поэтому кривая $U$ проходит $m$ раз через каждую из $3n(n-2)$ точек перегиба кривой $C_n$.

Шаблон:§ Если $C_m$ совпадет с $C_n$, то линия $U$ содержит, очевидно, два раза фундаментальную кривую; за вычетом этой кривой остается еще кривая кривая $V$ порядка $3n(n-2)$, для которой точки перегиба кривой $C_n$ имеют кратность $(n-2)$. Следовательно, если полюс пробегает фундаментальную кривую $(n-1)(n-2)-2$ точки, в которых пересекаются первая и вторая поляры, описывают линию порядка $3n(n-2)$, имеющую $n-2$ дуг (branche), проходящих через каждую из точек перегиба кривой $C_n$, одна из которых касается здесь с $C_n$ с кратностью три. Последнее становится очевидным, если заметить, что каждая стационарная касательная фундаментальной кривой имеет с кривой $V$ $n-2$ общих точек, то есть точку перегиба и еще $n-3$ простых пересечений.

Шаблон:§ Аналогично доказывается, что если полюс пробегает кривую $C_m$, то пересечения $(r)$-ой и $(s)$-ой поляр описывает линию порядка $mn(r+s)-2mrs$, которая касается фундаментальной кривой в точках, общих для этой кривой и кривой $C_m$. Следует еще заметить, что число $mn(r+s)-2mrs$ не меняется при замене чисел $n-r$ и $n-s$ на $r$ и $s$.