Введение в геометрическую теорию плоских кривых (Кремона)/1

Ангармоническое отношение четырех точек

Шаблон:§ Пусть на прямой заданы четыре точки $a$, $b$, $c$ и $d$; точка $c$ делит отрезок $ab$ в отношении $\frac{ac}{cb}$, а точка $d$ — в отношении $\frac{ad}{db}$. Отношение этих двух величин,

$\frac{ac}{cb}:\frac{ad}{db}$,

называется Шаблон:Предмет четырех точек $a$, $b$, $c$ и $d$ и обозначается символом $(abcd)$. Меняя порядок, в котором рассматриваются заданные точки, получим 4! ангармонических отношений, поскольку именно столько имеется перестановок четырех элементов. Коль скоро

$\frac{ac}{cb}:\frac{ad}{db}=\frac{bd}{da}:\frac{bc}{ca}=\frac{ca}{ad}:\frac{cb}{bd}=\frac{db}{bc}:\frac{da}{ac}$,

то есть

$(abcd)=(badc)=(cdab)=(dcba)$,

среди 4! отношений каждое повторяется по четыре раза. Таким образом, среди 4! ангармонических отношений имеется только шесть, вообще говоря, различных; в качестве таковых можно взять

$(abcd),(acdb),(adbc)$,

$(abdc),(acbd),(adcb)$.

Поскольку справедливо равенство

$(\frac{ac}{cb}:\frac{ad}{db})(\frac{ad}{db}:\frac{ac}{cb})=1$,

то есть

$(abcd)(abdc)=1$,

и аналогично

$(acdb)(acbd)=1$ и $(adbc)(adcb)=1$,

то шесть ангармонических отношений можно разбить на три пары взаимно обратных величин. Назовем главными три отношения

$(abcd),(acdb),(adbc)$,

и тогда три оставшихся ангармонических отношения будут к ним обратными.

Для четырех точек на прямой, как известно, верно соотношение

$bc.ad+ca.bd+ab.cd=0$,

из которого сразу следует, что

$\frac{ac}{cb}:\frac{ad}{db}+\frac{ab}{bc}:\frac{cd}{ad}=-1$

или

$(abcd)+(acbd)=1$,

и аналогично,

$(acbd)+(adcb)=1$,

$(adbc)+(abdc)=1$,

то есть среди 6 ангармонических отношений вмести с некоторой отношением содержится и такое отношение, что их сумма равна единице. Такие отношения называют дополнительными.

Из предыдущих соотношений следует, что по одному данному из шести ангармонических отношений можно отыскать все остальные. В самом деле, пусть $(abcd)=\lambda$, тогда обратное отношение есть $(abdc)=\frac{1}{\lambda }$. Дополнительные к ним отношения есть $(acbd)=1-\lambda$ и $(adbc)=\frac{\lambda -1}{\lambda }$. Наконец, отношения, обратные к эти последним, есть $(acbd)=\frac{1}{1-\lambda }$ и $(adcb)=\frac{\lambda }{\lambda -1}$.

Ангармоническое отношение пучка четырех прямых

Фиг. к § 2.

Шаблон:§ Соединим заданные точки $a,b,c,d$ с произвольной точкой $o$, не лежащей на прямой $ab$ (см. фиг.), то есть построим пучок $o(a,b,c,d)$ четырех прямых, проходящих через точку $o$ и соответственно $a,b,c,d$. Из теоремы синусов, примененной к треугольникам $aoc$ и $cob$, имеем

$\frac{ac}{cb}:\frac{ao}{bo}=\frac{\sin aoc}{\sin cob}$.

Аналогично, из треугольников $aod$ и $dob$ имеем

$\frac{ad}{db}:\frac{ao}{bo}=\frac{\sin aod}{\sin dob}$,

откуда

$\frac{ac}{cb}:\frac{ad}{db}=\frac{\sin aoc}{\sin cob}:\frac{\sin aod}{\sin dob}$,

или, обозначая как $A,B,C,D$ четыре направления $oa,ob,oc,od$ и как $AC,CB,\dots$ углы между ними заключенные,

$\frac{ac}{cb}:\frac{ad}{db}=\frac{\sin AC}{\sin CB}:\frac{\sin AD}{\sin DB}$,

то есть равенство, которое символически можно записать так

$(abcd)=\sin (ABCD)$.

Выражение в правой части этого равенства можно назвать ангармоническим отношением четырех прямых $A,B,C,D$. Тогда: ангармоническое отношение четырех прямых $A,B,C,D$, выходящих из центра $O$, равно ангармоническому отношению четырех точек $a,b,c,d$, в которых эти прямые пересекают произвольную прямую (которую в таком случае называют секущей). Отсюда следует, что если прямые $A,B,C,D$ пересекают другую секущую в точках $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime }$, то ангармоническое отношение этих новых четырех точек равно ангармоническому отношению точек $a,b,c,d$. Также очевидно, что если точки $a,b,c,d$ соединить с другим центром $o^{\prime }$ прямыми $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$, то ангармоническое отношение этих прямых равно отношению прямых $A,B,C,D$.

Фиг. 1 к § 3.

Шаблон:§ Пусть даны четыре точки $a,b,c,d$ на одной прямой и три точки $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }$ на другой прямой, на этой последней существует единственная, вполне определенная точка $d^{\prime }$, такая что

$(abcd)=(a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }{d}^{\prime })$.

Это становится очевидном, если заметить, что отрезок $a^{\prime }{b}^{\prime }$ должен делиться точкой $d^{\prime }$ так, чтобы было верно

$\frac{a^{\prime }{d}^{\prime }}{d^{\prime }{b}^{\prime }}=(\frac{ad}{db}:\frac{ac}{cb})\frac{a^{\prime }{c}^{\prime }}{c^{\prime }{b}^{\prime }}$.

В частности, если точки $a$ и $a^{\prime }$ совпадают (фиг. 2), то прямые $b{b}^{\prime },c{c}^{\prime },d{d}^{\prime }$ проходят через одну и ту же точку $o$.

Аналогично: дано два пучка четырех прямых $A,B,C,D$ и $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$, центрами которых пусть являются $o$ и $o^{\prime }$. Их ангармонические отношения совпадают:

$\sin (ABCD)=\sin (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$,

если прямые $A$ и $A^{\prime }$ совпадают друг с другом (а следовательно, и с единственной прямой, проходящей через $o$ и $o^{\prime }$), то три точки пересечений прямых $B$ и $B^{\prime }$, $C$ и $C^{\prime }$, $D$ и $D^{\prime }$ лежат на одной прямой.

Фиг. 2 к § 3.

Пусть даны четыре точки $a,b,c,d$ на одной прямой и четыре точки $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime }$ на другой прямой (фиг. 2). Если ангармонические отношения этих точек равны:

$(abcd)=(a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }{d}^{\prime })$,

также и два пучка $a(a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }{d}^{\prime })$ и $a^{\prime }(abcd)$ имеют равные ангармонические отношения (см. § 2). Но в этих двух пучках соответствующие друг другу лучи $a{a}^{\prime }$ и $a^{\prime }a$ совпадают, поэтому три точки $a{b}^{\prime }\cap a^{\prime }b$, $a{c}^{\prime }\cap a^{\prime }c$ и $a{d}^{\prime }\cap a^{\prime }d$ лежат на одной прямой. Это свойство позволяет указать простое правило построения точки $d^{\prime }$, когда даны $abcd$ и $a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }$.

Подобным же образом решается аналогичная проблема для двух пучков четырех прямых.

Гармонические точки

Шаблон:§ Четыре точки $a,b,c,d$ на одной прямой называются Шаблон:Предмет, если

$(abcd)=-1$,

и тогда также

$(badc)=(cdab)=(dcba)=(abdc)=(bacd)=(cdba)=(dcab)=-1$

Пары точек $a,b$ и $c,d$ в этом случае называют сопряженными друг к другу, точку $b$ — гармонически сопряженной к $a$ относительно пары $c,d$ и т.д.

Если точка $d$ — бесконечно удаленная, отношение $\frac{ad}{db}$ имеет предел $-1$, тогда равенство $(abcd)=-1$ сводится к $\frac{ac}{cb}=1$, поэтому $c$ делит отрезок $ab$ пополам.

Гармоническое соотношение $(abcd)=-1$ можно записать так

$\frac{ac}{cb}+\frac{ad}{db}=0$.

Поэтому, если одна из точек $c,d$, напр., $c$, лежит между $a$ и $b$, то другая точка, то есть $d$, лежит вне отрезка $ab$. В частности, если $a$ совпадает с $b$, то и $c$ совпадает с ними. Из этого же соотношения следует, что, если $a$ совпадает с $c$, то и $d$ совпадает с $a$.

Гармоническое соотношение позволяет однозначно определить одну из четырех точек по данным трем другим. Но если эти точки совпадают, то четвертая становится неопределенной.

Аналогично: четыре прямые $A$, $B$, $C$ и $D$, пересекающиеся в одной точке, называются гармоническими, если верно

$\sin (ABCD)=-1$,

то есть если они пересекают произвольную секущую в четырех гармонических точках.

Фиг. к § 5.

Шаблон:§ Пусть задан полный четырехсторонник (см. фиг.), то есть система четырех прямых, пересекающиеся попарно в шести точка $a$, $b$, $c$, $a^{\prime }$, $b^{\prime }$, $c^{\prime }$. Три диагонали $a{a}^{\prime }$, $b{b}^{\prime }$ и $c{c}^{\prime }$ образуют треугольник $\alpha \beta \gamma$. Пусть $x$ — гармонически сопряженная к $\beta$ относительно $c,c^{\prime }$, $y$ — гармонически сопряженная к $\gamma$ относительно $b,b^{\prime }$. Прямая, гармонически сопряженная к $a{a}^{\prime }$ относительно лучей $ac{b}^{\prime }$ и $a{c}^{\prime }b$, должна проходить через точку $x$, а прямая, гармонически сопряженная к $a{a}^{\prime }$ относительно лучей $a^{\prime }bc$ и $a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }$ — через точку $y$. [Поскольку ангармонические отношение этих пучков совпадают, то, в силу § 3, луч $a^{\prime }y$ должен проходить через $x$, а $ax$ – через $y$. Это возможно лишь тогда, когда] эти точки совпадают с $\alpha$, точкой пересечения $b{b}^{\prime }$ и $c{c}^{\prime }$. Это означает, что каждая диагональ делится гармонически двумя другими.

Из этого следует простое правило построения одной из четырех гармонических точек $\alpha$, $\gamma$, $b$ и $b^{\prime }$, когда даны три другие.

Похожим свойством обладает полный четырехугольник, то есть система четырех точек, лежащих попарно на шести прямых, и это позволяет строить гармонические пучки четырех прямых.

Шаблон:§ Четыре точки $m_1,m_2,m_3,m_4$ на прямой, относительно точки $o$ той же прямой, можно представить уравнением четвертого порядка:

$A.\stackrel{4}{\stackrel{‾}{om}}+4B.\stackrel{3}{\stackrel{‾}{om}}+6C.\stackrel{2}{\stackrel{‾}{om}}+4D.\overline{om}+E=0$,

то есть $o{m}_1,o{m}_2,o{m}_3,o{m}_4$ будут корнями этого уравнения. Если ангармоническое отношение $(m_1{m}_2{m}_3{m}_4)=-1$, верно

$m_1{m}_3.m_4{m}_2+m_2{m}_3.m_4{m}_1=0$,

или, заменяя отрезки $m_1{m}_3,\dots$ разностями $o{m}_3-o{m}_1,\dots$ и принимая во внимание известное соотношение между коэффициентами и корнями уравнения,

$A(o{m}_1.o{m}_2+o{m}_3.o{m}_4)-2C=0$.

Аналогично: равенства $(m_1{m}_3{m}_4{m}_2)=-1$ и $(m_1{m}_4{m}_2{m}_3)=-1$ дают соответственно

$A(o{m}_1.o{m}_3+o{m}_4.o{m}_2)-2C=0$,

$A(o{m}_1.o{m}_4+o{m}_2.o{m}_3)-2C=0$.

Перемножая эти три уравнения, получим необходимое и достаточное условие для того, чтобы одна из трех систем $(m_1{m}_2{m}_3{m}_4)$, $(m_1{m}_3{m}_4{m}_2)$ и $(m_1{m}_4{m}_2{m}_3)$ была гармонической. Получающееся в результате соотношение является симметрическим относительно отрезков $o{m}_1,o{m}_2,o{m}_3,o{m}_4$, и поэтому его можно выразить через коэффициенты уравнения. В итоге получится следующее: соотношение

$ACE+2BCD-A{D}^2-E{B}^2-C^3=0$

является условием того, что точки, представленные уравнением

$A.\stackrel{4}{\stackrel{‾}{om}}+4B.\stackrel{3}{\stackrel{‾}{om}}+6C.\stackrel{2}{\stackrel{‾}{om}}+4D.\overline{om}+E=0$,

взятые в одном из возможных порядков, образуют гармоническую систему.