БЭЮ/Парабола, в геометрии

Парабола (греч.), в геометрии плоская кривая, геометрическое место точек, равноудаленных от неподвижной точки F (Шаблон:Razr2) и неподвижной прямой LL (Шаблон:Razr2). Если опустим из F перпендикуляр на LL, то средина M расстояния oF принадлежит П., п. ч. oM = MF. Точка M назыв. Шаблон:Razr2 П. Расстояние oF, единственная переменная, значениями которой различаются между собой П., называется Шаблон:Razr2, а вся прямая oF назыв. Шаблон:Razr2 П. Если точка A принадлежит П., то расстояние A от директрисы должно равняться расстоянию A от фокуса. Отсюда следующее построение П. по точкам: соединим произвольную точку a на LL с F, восставим в a перпендикуляр aX к LL и проведем чрез середину aF перпендикуляр (ось симметрии) tA, который пересечет aX в A. П. симметрично расположена относительно оси oF и удаляется в бесконечность по мере того, как точка a движется в обе стороны по LL. Прямые aX, параллельные оси, наз. Шаблон:Razr2. Ось симметрии ta касается П. в A и наз. Шаблон:Rfloat Шаблон:Razr2, потому что для всякой иной точки ее, напр. B, Ba = aF, но Ba, как гипотенуза, больше перпендикуляра, опущенного из B на LL. Расстояние FA назыв. Шаблон:Razr2 или Шаблон:Razr2 A, перпендикуляр An к касательной в точке A наз. Шаблон:Razr2; перпендикуляр Aa Шаблон:Razr2 y точки A и Ma — Шаблон:Razr2, an — Шаблон:Razr2. Прямая может иметь с П. только две общие точки, след. П. кривая 2 порядка или коническое сечение, при том с эксцентрицитетом e = 1. П. получается при сечении конуса плоскостью, параллельною производящей. Четыреугольник taAF — ромб, отсюда: 1) поднормаль an постоянная и равна параметру; 2) F одинаково отстоит от A, t и n; поэтому для проведения касательной и нормали достаточно описать радиусом FA круг, который засечет ось в t и n, и соединить t и n с A; 3) так как Mt = Ma, то $y^2=2px$, где p параметр; 4) касательная в вершине П. делит пополам все касательные между осью и П.; 5) нормаль делит пополам угол между диаметром и радиусом-вектором (∠ XAn = ∠ AnF, как внутренние накрест лежащие, и ∠ FAn = ∠ anF, как углы при основании равнобедренного треугольника с вершиной F). Вообще П. наз. кривые, выражаемые уравнениями: $y=A+Bx+C{x}^2+D{x}^3+\dots +N{x}^n$ или $y^m=A+Bx+C{x}^2+D{x}^3+\dots +N{x}^n$; так напр. полукубическая П., открытая английским математиком Уильямом Нейлем (1637—1670) выражается уравнением: $a{y}^2=x^3$.