БСЭ1/Эволюта и эвольвента
ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТА, плоские кривые, находящиеся в следующем соотношении друг с другом: представим себе нек-рую кривую C (рис. 1), на к-рую намотана нить; Шаблон:Rfloat в точке M эта нить отведена по касательной MA; если мы будем теперь сматывать эту нить с кривой C, оставляя ее натянутой, то точка A будет описывать нек-рую кривую T, которая и называется Шаблон:Razr кривой C; сама же кривая C по отношению к кривой T называется Шаблон:Razr (построение Эйлера). — Шаблон:Razr. Эволюта окружности вырождается в одну точку — центр окружности; эвольвента окружности — спираль (рис. 2а). Эволюта эллипса есть астроида (рис. 2б). Эволюта циклоиды есть снова циклоида, равная первой, но смещенная относительно нее вдоль оси x на расстояние π (рис. 2в). — Более строго понятия Э. и э. определяются так: эволюта C кривой T (эвольвенты) есть Шаблон:Lsafe (см.) Шаблон:Lfloat всех нормалей кривой T, или геометрическое место всех ее Шаблон:Lsafe (см.). Длина дуги эволюты C равна разности радиусов кривизны эвольвенты T, соответствующих концам этой дуги.
Аналитически определение эвольвенты по эволюте разрешается интегрированием дифференциального уравнения
Если через R обозначить радиус кривизны эвольвенты круга, а через S длину ее дуги, то R²=2aS.
Шаблон:Rfloat Понятие об эвольвенте плоской кривой может быть перенесено на пространственные кривые. Кривая С есть эволюта кривой T, если касательные кривой C являются нормалями кривой T. Можно показать, что всякая кривая T имеет ∞¹ эволют. Все эти эволюты могут быть получены из одной из них (C) путем поворота на постоянный угол около соответствующих точек кривой T в нормальных ее плоскостях, касательных к кривой C. Дальнейшим обобщением понятия эволюты служит понятие о поверхностях центров данной поверхности.
Лит.: все курсы дифференциального исчисления и дифференциальной геометрии, например Шаблон:Razr; Курс математического анализа, т. I, Москва, 1911, гл. 10; Шаблон:Razr, Дифференциальная геометрия, М.—Л., [1924]; Шаблон:Razr, Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven, В. II, 2 Aufl., Lpz., 1911; Шаблон:Razr, Anwendung d. Differential- und Integral-Rechnung auf Geometrie, Band I — Einführung in die Theorie der Kurven in der Ebene und im Räume, 3 Auflage, Berlin, 1923.