БСЭ1/Модулярные функции

Шаблон:БСЭ1 МОДУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ, аналитич. функции, значения к-рых не меняются, если значение аргумента $x$ заменить значением $\frac{\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta },$ где $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ — целые числа, такие, что $\alpha \delta -\beta \gamma =1$. Частным случаем М. ф. являются Шаблон:Lsafe (см.) (напр., функция $\sin \pi x$, значения которой не меняются, если $x$ заменить через $x+n$. где $n$ — любое целое число; здесь $\alpha =\delta =1,\beta =n,\gamma =0$). В свою очередь М. ф. являются частным случаем автоморфных функций.

Важнейшие М. ф. связаны с эллиптич. функциями, почему и называются эллиптическими М. ф. (термин принадлежит Дедекинду). Так, рассматривая коэффициенты $g_2$ и $g_3$ в дифференциальном уравнении ${\left(\frac{dx}{dy}\right)}^2=4y^3-g_{2}y-g_3$ (к-рому удовлетворяет эллиптич. функция $y=px$ Вейерштрасса) как функции периодов $\omega$ и ${\omega }^{\prime }$ функции $px$,Шаблон:Rfloat образуем отношение: $\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}.$ Можно показать, что это отношение зависит лишь от отношения периодов $\tau =\frac{{\omega }^{\prime }}{\omega }$ и является модулярной функцией $\tau$. Последняя функция называется абсолютным инвариантом (Клейн) и обозначается через $I(\tau )$. Она играет важную роль в теории эллиптических функций; в частности, при ее помощи решается задача нахождения периодов $\omega$ и ${\omega }^{\prime }$ по заданным $g_2$ и $g_3$. Другой важной М. ф. является функция ${\kappa }^2(\tau )=\lambda (\tau )=\frac{e_2-e_3}{e_1-e_3},$ где $e_1,e_2$ и $e_3$ — корни кубичного уравнения $4y^3-g_{2}y-g_3=0$. Функция $I(\tau )$ дает Шаблон:Lsafe (см.) заштрихованной на рис. области на полуплоскость. Функция $I(\tau )$ рационально выражается через ${\kappa }^2(\tau ):I(\tau )=\frac{4(x^4-x^2+1{)}^3}{27x^4(1-x^2{)}^2}.$ Посредством обратной модулярной функции Пикар доказал свою «большую» теорему.

Лит.: Шаблон:Razr2 А., Теория аналитических и эллиптических функций, пер. с 3 нем. изд., Л. — М., 1933; Шаблон:Razr2 Р., Геометрическая теория функций комплексной переменной, пер. с 3 нем. изд., Л. — М., 1934; Шаблон:Razr2 Л. Р., Автоморфные функции, перевод с англ., М. — Л., 1936; Шаблон:Razr2 F., Vorlesungen uber die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, ausgearb. u. vervollständigt v. R. Tricke, Bd I — II, Lpz., 1890—92.