БСЭ1/Многообразие

Шаблон:БСЭ1 МНОГООБРАЗИЕ, обобщение на любое число измерений понятий линии и Шаблон:Lsafe (см.). Одномерным М. называется линия без кратных и концевых точек. С точки зрения Шаблон:Lsafe (см.) существуют только два различных типа одномерных М.: каждое одномерное М. может быть непрерывно и взаимно-однозначно отображено или на окружность или на прямую. Двумерное М. определяется следующим образом: двумерным элементом называется непрерывный и взаимно-однозначный образ квадрата; двумерным М. называется такая поверхность $M^2$, что для любой ее точки $P$ найдется лежащий на $M^2$ двумерный элемент $E^2$, содержащий точку $P$ и все достаточно, близкие к $P$ точки поверхности $M^2$ в качестве внутренних точек. Двумерными М. являются плоскость, поверхность шара, поверхность тора и т. д. О классификации двумерных М. см. Шаблон:Lsafe. Линии и поверхности можно представлять себе расположенными в трехмерном пространстве или изучать их самих по себе, как это делает внутренняя геометрич. поверхностей. Аналогично М. большего числа измерений или предполагаются расположенными в том или ином Шаблон:Lsafe (см.) (в этом случае М., по определению, есть множество точек многомерного пространства, обладающее указанными ниже свойствами), или рассматриваются самостоятельно. В последнем случае определение М. начинается с того, что М. всегда есть топологическое Шаблон:Lsafe (см.).

Среди произвольных точечных множеств многомерных пространств или среди топологич. пространств М. выделяются следующими свойствами: 1) М. связано, 2) дли любой точки Р $n$-мерного многообразия $M^n$ существует лежащий на $M^n$ $n$-мерный элемент $E^n$, содержащий точку $P$ и все достаточно близкие к $P$ точки многообразия $M^n$ в качестве внутренних точек. При этом $n$-мерным элементом называется взаимно-однозначный и непрерывный образ куба $n$-мерного Эвклидова пространства, т. е. множество точек с координатами (x_{1},~ x_{1},~ ...,~x_{n},~), удовлетворяющими неравенствам $0⩽x_n⩽1,k=1,2,...,n$. — Само трехмерное Эвклидово пространство является примером трехмерного М. Вопрос о классификации всех различных топологич. типов трехмерных М. еще не решен.

Для того, чтобы в М. возможно было развивать дифференциальную геометрию, необходимо включить в определение М. еще нек-рые дополнительные моменты. Так возникает понятие дифференциально-геометрич. М. Каждое взаимно-однозначное и непрерывное отображение $n$-мерного куба на элемент $E^n$, расположенный на многообразии $M^n$, создает на $E^n$ криволинейную систему координат: координатами точки, принадлежащей $E^n$, объявляются при этом прямоугольные координаты ее прообраза в $n$-мерном кубе. Если в двух перекрывающихся элементах $E_1^n$ и $E_2^n$, лежащих на $M^n$, рассматриваются две системы координат, то для дифференциальной геометрии надо, чтобы переход от одной системы к другой (для точек, принадлежащих обоим элементам) осуществлялся при помощи дифференцируемых (допустим — $k$ раз) функций. Многообразие $M^n$ вместе с жесткой (т. е. не могущей быть расширенной с сохранением ее свойств) системой отображений $n$-мерного куба на различные расположенные на $M^n$ элементы, связанных между собой $k$ раз дифференцируемым образом, и называется $k$ раз дифференцируемым М. Как топологическое, так и диф-ференциально-геометрическое изучение М. было начато Шаблон:Lsafe (см.), о дальнейших топологических проблемах, связанных с М., см. Шаблон:Lsafe, о дифференциально-геометрических— см. Шаблон:Lsafe (Риманова геометрия), Шаблон:Lsafe.