БСЭ1/Многозначные функции

Шаблон:БСЭ1 МНОГОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ, функции, принимающие несколько значений для одного и того же значения аргумента (или аргументов, если речь идет о функции многих переменных). Простейшим примером М. ф. является $\sqrt{x}$, имеющий при всяком $x\ne 0$ два значения, отличающиеся знаками. М. ф. называется $n$-значной (двух-, трех- и т. д. значной), если она принимает вообще $n$ (два, три и т. д.) значений. Простейший пример $n$-значной функции представляет функция $\sqrt[n]{x}$, имеющая для всякого $x\ne 0$ $n$ различных значений (из к-рых действительными могут быть, самое большее, два значения). Обратные тригонометрич. функции ($\arcsin x,\arctan x,...$) дают пример бесконечно-значных функций. К бесконечно-значным функциям относятся также $\ln x,x^a$ (при $a$ иррациональном); из всех значений этих последних функций, соответствующих заданному значению аргумента, самое большее — одно значение является действительным. Важнейшие М. ф. появляются в математике при обращении однозначных функций (М. ф. $\sqrt[n]{x},\arcsin x,\ln x$ являются обратными по отношению к однозначным функциям: $x^n,\sin x,e^x$), при интегрировании в комплексной области, при аналитич. продолжении и т. д.