БСЭ1/Математическое ожидание

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, важнейшая характеристика случайной величины. В простейшем случае, когда случайная величина

$X$

может принимать лишь конечное число значений

$x_1,x_2,...,x_k$

с соответствующими вероятностями

$p_1,p_2,...,p_k$

, М. о. величины

$X$

определяется формулой:

$EX=x_1{p}_1+x_2{p}_2+...+x_k{p}_k$;

при «непрерывных» распределениях, т. е., когда вероятность неравенства

$x<X<x+dx$

при малом

$dx$

определяется выражением

$f(x)dx$

, М. о. величины

$X$

дается. формулой

$EX=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx$

(в предположении, что интеграл абсолютно сходится). Теоретическому понятию М. о. соответствует в практической статистике понятие среднего значения; если в совокупности из

$n$

предметов, обладающих некоторым количественно измеримым признаком

$X,n_1$

предметов имеют величину признака

$x_1,n_2$

предметов — величину

$x_2$

и т. д., то — средним значением признака

$X$

в данной совокупности называют величину

$\frac{x_1{n}_1+x_2{n}_2+...}{n}$;

очевидно, это есть просто среднее арифметическое величины признака

$X$

для всех предметов данной совокупности; с другой стороны, если — отношения

$\frac{n_i}{n}$

, как этого требует закон больших чисел, близки к вероятностям соответствующих значений признака, то среднее значение признака

$X$

в данной совокупности очевидно близко к его М. о. Этим свойством М. о. обусловлено его важное практическое значение. С формальной стороны М. о. как характеристика случайной величины обладает значительным удобством, главным образом благодаря следующим двум своим свойствам: 1) теорема сложения: М. о. суммы нескольких случайных величин равно сумме их М. о.; 2) теорема умножения: М. о. произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их М. о.

Лит.: Шаблон:Razr2 С. Н., Теория вероятностей, 3 изд., М. — Л., 1934.