БСЭ1/Главные радиусы кривизны

Шаблон:БСЭ1 ГЛАВНЫЕ РАДИУСЫ КРИВИЗНЫ, величины, обратные кривизнам Шаблон:Lsafe (см.) поверхности. Значение их заключается в том, что, зная Г. р. к., легко можно вычислить кривизну всякого нормального сечения. Г. р. к. ${\varrho }_1$ и ${\varrho }_2$ вычисляются по формулам:

$\frac{1}{{\varrho }_1}+\frac{1}{{\varrho }_2}=\frac{(1+q)r-2pqs(1+p^2+q^2{)}^{2/3}+(1+p^2)t}{(1+p^2+q^2{)}^{2/3}}$,

$\frac{1}{{\varrho }_1{\varrho }_2}=\frac{rt-s^2}{(1+p^2+q^2{)}^2}$

где

$p=\frac{dz}{dx}$; $q=\frac{dz}{dy}$; $r=\frac{d^{2}z}{d{x}^2}$; $s=\frac{d^{2}z}{dxdy}$; $t=\frac{d^{2}z}{d{y}^2}$

Если ввести обозначения

$L=\frac{p}{\sqrt{1+p^2+q^2}}$ , `$M=\frac{q}{\sqrt{1+p^2+q^2}}$

то для вычисления Г. р. к. могут служить формулы

$H=\frac{1}{{\varrho }_1}+\frac{1}{{\varrho }_2}=\frac{\partial L}{\partial x}+\frac{\partial M}{\partial y}$; $K=\frac{1}{{\varrho }_1{\varrho }_2}=\frac{\partial (LM)}{\partial (x,y)}$.

Величина $H$ называется Шаблон:Razr2 поверхности в данной точке, а величина $K$ — мерой кривизны (подробнее см. Шаблон:Lsafe). `