БСЭ1/Гипергеометрический ряд

Шаблон:БСЭ1 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД, бесконечный ряд вида:

$f(\alpha ,\beta ,\gamma ,x)=1+\frac{\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }\cdot x+\frac{\alpha (\alpha +1)\cdot \beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}\cdot x^2+\frac{\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\cdot \beta (\beta +1)(\beta +2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma (\gamma +1)(\gamma +2)}\cdot x^3\dots$, удовлетворяющий гауссову дифференциальному уравнению:

$(x-x^2)y^{″}+[\gamma -(1+\alpha +\beta )x]y^{\prime }=\alpha \beta y$

Гипергеометрич. ряд включает в себя как частные случаи большое количество известных разложений функций в бесконечн. ряды. Например: при $\beta =\gamma$ или $\alpha =\beta =1$ и $\gamma =2$ получаются известн. разложения функций $(1-x{)}^{-\alpha }-\frac{1}{x}\log (1-x)$. Г. р. впервые был подробно изучен Гауссом (Gauss С. F., Allgemeine Untersuchungen über die unendliche Reihe $1+\frac{\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }\cdot x\dots$ ), который показал и важные применения этого ряда в интегрировании дифференциальных уравнений. Этот мемуар Гаусса сыграл важную роль в общей теории Шаблон:Lsafe (см.).