БСЭ1/Гиперболические функции

Шаблон:БСЭ1 ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, функции, определяемые формулами:

$\mathrm{coshyp}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

$\mathrm{sinhyp}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

Первая из этих функций называется гиперболическим косинусом, а вторая — гиперболическим синусом. Г. ф. имеют такое же отношение к гиперболе, как обычные тригонометрические функции (косинус и синус) к окружности. Для всякого $x$, как вытекает прямо из определения,

$(\mathrm{coshyp}x{)}^2-(\mathrm{sinhyp}x{)}^2=1.$

что представляет аналогию известной тригонометрической связи ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1.$. Следствием этого соотношения является то, что точка с координатами $x$ и $y$, движение которой в плоскости определяется законом $x=\mathrm{coshyp}t$, $y=\mathrm{sinhyp}t$, имеет своей траекторией равностороннюю гиперболу с уравнением $x^2-y^2=1$, совершенно подобно тому, как закон $x=\cos t,y=\sin t$ определяет движение по окружности. Отсюда непосредственно следует, что Г. ф. геометрически определяются из рассмотрения полученной равносторонней гиперболы по тем же правилам, как тригонометрические функции — из рассмотрения окружности радиуса 1. Аналогия простирается и дальше: для Г. ф. имеют место теоремы сложения, совершенно аналогичные соответствующим теоремам для функций тригонометрических, а именно:

$\mathrm{sinhyp}(a+b)=\mathrm{sinhyp}a\cdot \mathrm{coshyp}b+\mathrm{sinhyp}b\cdot \mathrm{coshyp}a.$

$\mathrm{coshyp}(a+b)=\mathrm{coshyp}a\cdot \mathrm{coshyp}b+\mathrm{sinhyp}b\cdot \mathrm{sinhyp}a.$

$\mathrm{sinhyp}(2a)=2\mathrm{coshyp}a\cdot \mathrm{sinhyp}a$

$\mathrm{coshyp}(2a)=(\mathrm{coshyp}a{)}^2+(\mathrm{sinhyp}a{)}^2$

и ряд др. аналогичных. Наряду с косинусом и синусом иногда вводят в рассмотрение т. н. гиперболический тангенс:

$\mathrm{taghyp}x=\frac{\mathrm{sinhyp}x}{\mathrm{coshyp}x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

В последнее время Г. ф. получили широкое применение в теории переменного тока.