БСЭ1/Геодезическая кривизна

Шаблон:БСЭ1 ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА, величина, являющаяся обобщением понятия Шаблон:Lsafe (см.), определенного для плоской кривой, на случай кривой, лежащей на произвольной поверхности.Шаблон:Rfloat Она определяется таким же построением с той лишь разницей, что роль прямой играет Шаблон:Lsafe (см.). Если $c$ (рис.) есть данная кривая (не плоская, а лежащая на нек-рой поверхности), а $g_1$ и $g_2$—две геодезические линии этой поверхности, касающиеся кривой $c$ в двух бесконечно близких точках $P_1$ и $P_2$, то Г. к. к точке $P$ есть частное $\frac{d\tau }{ds}$, где $d\tau$—бесконечно малый угол между линиями $g_1$ и $g_2$, а $ds$—длина дуги $P{P}_1$. Г. к. равна т. н. Шаблон:Razr2, т. е. кривизне проекции данной кривой на плоскость, касающуюся поверхности в точке $P$. Таким образом, Г. к. является мерой б. или м. сильного изгибания кривой по поверхности, подобно тому, как обычная кривизна служит мерой изгибания плоской кривой в ее плоскости. Г. к. является величиной, связанной лишь с самыми общими свойствами поверхности (коэффициентами, определяющими выражение элемента длины дуги на поверхности см. Шаблон:Lsafe, Шаблон:Lsafe). Поэтому при изгибании поверхности Г. к. всех лежащих на ней линий не меняется (теорема Миндинга). Г. к. равна нулю на всех геодезических линиях поверхности. Термин Г. к. введен Лиувиллем в 1850, хотя по существу с Г. к. был знаком еще Гаусс