Просмотр кода страницы БСЭ1/Эйлеровы углы

{{БСЭ1
| НАЗВАНИЕ     = Эйлеровы углы
| СПИСОК       = 
| КАЧЕСТВО     = 2
}}

'''ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ''', три угла {{razr|''ψ'', ''φ'' и ''θ''}} (рис.), которыми определяется относительное положение двух прямоугольных систем координатных осей с общим началом в точке ''О''. Э. у. широко применяются в механике и ''{{lsafe|аналитической геометрии}}'' (см.) во всех случаях, где возникает необходимость перейти от одной системы пространственных прямоугольных координат к другой с тем же началом. {{Rfloat|0|БСЭ1. Эйлеровы углы.jpg}} Обычные формулы такого перехода содержат девять величин: ''a''<sub><small>11</small></sub>, ''a''<sub><small>12</small></sub>, ''a''<sub><small>13</small></sub>, ''a''<sub><small>21</small></sub>, ''a''<sub><small>22</small></sub>, ''a''<sub><small>23</small></sub>, ''a''<sub><small>31</small></sub>, ''a''<sub><small>32</small></sub>, ''a''<sub><small>33</small></sub>, представляющих собой косинусы углов между осями первой и второй систем координат. Эти 9 величин не независимы, а связаны шестью соотношениями, выражающими взаимную перпендикулярность каждых двух осей одной и той же системы координат, следовательно они могут быть выражены через посредство трех из этих величин или трех вспомогательных величин, в качестве которых очень удобно брать именно Э. у.

<small>Геометрически Э. у. определяются так: угол ''ψ'' есть угол между осью ''X''<sub><small>1</small></sub> и пересечением ''OY''<sub><small>2</small></sub>, плоскостей ''XY'' и ''X<sub><small>1</small></sub>Y<sub><small>1</small></sub>''; угол ''φ'' измеряет в плоскости ''OXY'' угол между ''OY''<sub><small>2</small></sub> и ''OX''; угол ''θ'' определяет наклон плоскостей ''XOY'' и ''X''<sub><small>1</small></sub>''OY''<sub><small>1</small></sub>, т. е. угол между осями ''OZ'' и ''OZ''<sub><small>1</small></sub>. — Формулы перехода от системы координат ''х'', ''у'', ''z'' к системе ''х''<sub><small>1</small></sub>, ''у''<sub><small>1</small></sub>, ''z''<sub><small>1</small></sub> таковы:

{{Центр|<math> x_1 = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z </math>}}
{{Центр|<math> y_1 = a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z </math>}}
{{Центр|<math> {\color {red} x_1} = a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z </math>}} {{Примечание ВТ|Видимо, в третьей строке должно быть не ''x''<sub>1</sub>, а ''z''<sub>1</sub>}}

{{Noindent|Величины ''a''<sub><small>11</small></sub>, ''a''<sub><small>12</small></sub>, …, ''a''<sub><small>33</small></sub> связаны с Э. у. соотношениями:}}

:<math> a_{11} = \cos \varphi\cos \psi - \sin \varphi\sin \psi\cos \theta ;~~~ a_{12} = -\sin \varphi\cos \psi - \cos \varphi\sin \psi\cos \theta ; ~~~ a_{13} = \sin \psi \sin \theta ;</math>

:<math> a_{21} = \cos \varphi\sin \psi + \sin \varphi\cos \theta ;~~~ a_{22} = -\sin \varphi\sin \psi + \cos \varphi \cos \psi \cos \theta ; ~~~ a_{23} = -\cos \psi \sin \theta ;</math>

:<math> a_{31} = \sin \varphi\sin \theta;~~~ a_{32} = \cos \varphi\sin \theta; ~~~ a_{33} = \cos \theta ;</math>
</small>

{{Примечания ВТ}}