Просмотр кода страницы БСЭ1/Главные радиусы кривизны

{{БСЭ1
|ВИКИДАННЫЕ=
|КАЧЕСТВО=
}}
'''ГЛАВНЫЕ РАДИУСЫ КРИВИЗНЫ''', величины, обратные кривизнам ''{{Lsafe|Главные нормальные сечения|главных нормальных сечений}}'' (см.) поверхности. Значение их заключается в том, что, зная Г. р. к., легко можно вычислить кривизну всякого нормального сечения. Г. р. к. <math>\varrho_1</math> и <math>\varrho_2</math> вычисляются по формулам:

<math>\frac{1}{\varrho_1}+\frac{1}{\varrho_2}=\frac{(1+q)r-2pqs(1+p^2+q^2)^{2/3}+(1+p^2)t}{(1+p^2+q^2)^{2/3}}</math>,

<math>\frac{1}{\varrho_1\varrho_2}=\frac{rt-s^2}{(1+p^2+q^2)^{2}}</math>

где 

<math>p=\frac{dz}{dx}</math>;  <math>q=\frac{dz}{dy}</math>;  <math>r=\frac{d^{2}z}{dx^2}</math>;  <math>s=\frac{d^{2}z}{dxdy}</math>;  <math>t=\frac{d^{2}z}{dy^2}</math>

Если ввести обозначения

<math>L=\frac{p}{\sqrt{1+p^2+q^2}}</math> ,  `<math>M=\frac{q}{\sqrt{1+p^2+q^2}}</math>

то для вычисления Г. р. к. могут служить формулы 

<math>H=\frac{1}{\varrho_1}+\frac{1}{\varrho_2}=\frac{\partial L}{\partial x}+\frac{\partial M}{\partial y}</math>;     <math>K=\frac{1}{\varrho_1\varrho_2}=\frac{\partial (LM)}{\partial (x,y)}</math>.

Величина <math>H</math> называется {{razr2|средней кривизной}} поверхности в данной точке, а величина <math>K</math> — мерой кривизны (подробнее
см. ''{{Lsafe|Поверхность}}'').
`