ЭСГ/Прогрессии

Прогрессии. 1) Арифметическою П. называется ряд чисел u₁, u₂, …, u_n, …, или членов П., в котором разность между последующим и предыдущим членом равна постоянному числу r. Если r > 0, то П. — возрастающая; при r < 0 П. — убывающая. Из предыдущего определения получаем для n-го члена П. выражение $u_n=u_1+(n-1)r$. Всегда имеем $u_1+u_n=u_{1+k}+u_{n-k}$. Сумма n членов П. равна $S_n=\frac{(u_1+u_n)n}{2}$. 2) Геометрическою П. называется ряд чисел u₁, u₂, …, u_n, …, или членов П., в котором частное от деления последующего члена на предыдущий равно постоянному числу q, которое называется знаменателем П. Если q > 1, то П. — возрастающая, если же q < 1, то П. — убывающая; при q > 0 П. — знакопостоянная, а при q < 0 П. — знакочередующаяся. Из предыдущего определения имеем для n-го члена П. выражение $u_n=u_1{q}^{n-1}$. Достаточно повысить порядок действий на одну ступень, т. е. заменить сложение умножением и т. д., чтобы от теорем арифм. П. перейти к соответствующим теоремам геом. П. Для суммы n членов геом. П. имеем $S_n=\frac{u_{n}q-u_1}{q-1}$. Если q < 1, то предел u_n при n = ∞ есть нуль, и мы получаем сумму бесконечно убывающей П. $S=\frac{u_1}{1-q}$. Так. обр. бесконечно убывающая П. представляет элементарный пример суммируемого ряда; сравнивая с нею другие ряды, можно получить различные признаки сходимости рядов.