ЭСБЕ/Эллипсоид

Эллипсоид. — Поверхность второго порядка, замкнутая, имеющая центр и пересекаемая всякой плоскостью по [[../Эллипс|эллипсам]] или кругам, называется Э. ([[../Тела геометрические|XXXIV, 300]]). На прилагаемом чертеже изображен Э. с тремя неравными главными взаимно перпендикулярными полуосями: большой $a=OA$, средней $b=OB$ и малой $c=OC$. Если начало координата взято в центре $O$ Э., ось X-ов расположена по $A^{\prime }OA$, ось Y-ов по $B^{\prime }OB$ и ось Z-ов по $C^{\prime }OC$, то уравнение Э. будет:

Поверхность эта обладает, между прочим, следующими геометрическими свойствами. Если через какую-нибудь точку её провести касательную к ней плоскость, то пересечения всех плоскостей, ей параллельных, с поверхностью Э. будут эллипсы, подобные друг другу, с параллельными между собой большими главными осями и с параллельными между собой главными малыми осями. Та плоскость, параллельная касательной плоскости, которая проходит через центр Э., называется диаметральной плоскостью, сопряженной диаметру, проведенному через центр и точку касания. Шаблон:Ifloat Диаметры $A^{\prime }A$, $B^{\prime }B$, $C^{\prime }C$ называются главными диаметральными, а плоскости эллипсов $CB{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, $AC{A}^{\prime }{C}^{\prime }$, $AB{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ — главными диаметральными плоскостями. На главном диаметральном эллипсе $AC{A}^{\prime }{C}^{\prime }$ имеются четыре точки, расположенные на концах двух диаметров этого эллипса, наклоненных к оси X-ов под углами, тангенсы которых равны

$+\frac{c}{a}\sqrt{\frac{b^2-c^2}{a^2-b^2}}$, $-\frac{c}{a}\sqrt{\frac{b^2-c^2}{a^2-b^2}}$.

Точки эти называются точками закругления. Касательные плоскости к Э., проведенные в этих точках, параллельны оси Y-ов и, значит, перпендикулярны в плоскости $XOZ$. Плоскости, секущие Э. и параллельные этим плоскостям, дают не эллиптические, но круговые сечения. Те две проходящие через центр плоскости, которые сопряженны двум диаметрам точек закругления, пересекают Э. по двум кругам радиуса b, проходящим через ось Y-ов.

Э. инерции, вращение твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции. В статье: [[../Момент инерции|Момент инерции (XIX, 692—695)]] было объяснено значение Э. инерции твердого тела для какой-либо точки и значение главных осей инерции. Если $A=\sum m(y^2+z^2)$, $B=\sum m(z^2+x^2)$, $C=\sum m(x^2+y^2)$ суть моменты инерции вокруг главных осей инерции, проведенных через рассматриваемую точку тела, то величины главных полуосей Э. инерции обратно пропорциональны корням квадратным из этих главных моментов инерции, т. е.:

$a=\sqrt{A}-1$, $b=\sqrt{B}-1$, $c=\sqrt{C}-1$,

тогда уравнение Э. инерции принимает вид (1). Надо, однако, заметить, что не всякий Э. может быть Э. инерции; надо, чтобы величины полуосей $a$, $b$, $c$ удовлетворяли некоторому условию. Можно убедиться, что:

$A+B-C=2\sum m{z}^2$ $(a^2{)}^{-1}+(b^2{)}^{-1}-(c^2{)}^{-1}>0$.

Например, Э., полуоси которого суть $a=3$, $b=2$, $c=1$ не может быть Э. инерции никакого тела, потому что

$\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+-1<0$.

В тех случаях, в которых Э. инерции есть Э. вращения, то есть когда $b=a$, то предыдущее условие обратится в следующее:

$\frac{2}{a^2}>\frac{1}{c^2}$,

Э. упругости и Э. деформаций. [[../Ламе, Габриэль|Ламе (XVII, 297)]] ввел в теорию упругости представление об Э. упругости. Напряжения сил упругости (см. [[../Упругость|Упругость, XXXIV, 854]]), действующие на площадки, проходящие через одну и ту же точку упругого тела, имеют различные величины и направления в зависимости от направления нормали (см. формулы (2) на стр. Шаблон:Опечатка XXXIV т.). Если изобразить напряжения, приложенные к площадкам всевозможных направлений (но проходящих через одну и ту же точку), длинами, отложенными по направлениям напряжений, то оконечности этих длин образуют поверхность Э. упругости. Ничтожно малые деформации, совершающиеся при переходе упругого тела из естественного состояния в деформированное, происходят так, что если вокруг какой-нибудь точки опишем шар весьма малого радиуса, то частицы, находившиеся в естественном состоянии внутри и на поверхности этого шара, в деформированном состоянии будут находиться внутри и на поверхности некоторого Э. Обратно, можно вокруг точки как вокруг центра описать такой Э., который при деформации обратится в шар; Э. этот называется Э. деформации. Шаблон:ЭСБЕ/Автор2